初三几何模型应用之线段和的最小值Word文件下载.docx
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(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。
2、如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB的值为()
A.6B.8C.10D.12
3、如图,在矩形中,,.动点满足.则点到,两点距离之和的最小值为()
A.B.C.D.
4、如图8,已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,且OA=15,OC=9,在边AB上选取一点D,将△AOD沿OD翻折,使点A落在BC边上,记为点E.
(1)求DE所在直线的解析式;
(2)设点P在x轴上,以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形,问这样的点P有几个,并求出所有满足条件的点P的坐标;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使四边形MNED的周长最小?
如果存在,求出周长的最小值;
如果不存在,请说明理由.
4、如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式;
(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.
A
B
C
O
y=kx+b
y=-
x
2
+2
+1
·
P
(
,
y
)
5、如图,抛物线交y轴于点B,点A为x轴上的一点,OA=2,过点A作直线交抛物线于M,N两点,
(1)求直线AB的解析式;
(2)连接BM,BN,P为抛物线BN段上的一动点,是否存在这一点,使得四边形MBPN的面积最大,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在x轴上是否存在点Q,使得以A、N、Q为顶点的三角形与△AOB相似?
如果存在,请求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由;
(4)将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度,得到线段A1B1,求MA1+MB1取最小值时实数t的值。
(逆向思维,点M竖直向上运动)
二、“胡不归”模型
【问题提出】如图①,已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB,C为公路BD上的酒店,从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,点D选在何处时,所用时间最短?
【特例分析】若n=2,则时间t=+,当a为定值时,问题转化为:
在BC上确定一点D,使得AD+的值最小.如图②,过点C做射线CM,使得∠BCM=30°
.
(1)过点D作DE⊥CM,垂足为E,试说明:
DE=;
(2)请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′,并说明理由.
【问题解决】
(3)请你仿照“特例分析”中的相关步骤,解决图①中的问题(写出具体方案,如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等).
【模型运用】
(4)如图③,海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m,BC=300m.救生员在C点处发现标志A处有人求救,立刻前去营救,若救生员在岸上跑的速度都是6m/s,在海中游泳的速度都是2m/s,求救生员从C点出发到达A处的最短时间.
【套路归纳】
①将所求线段和改写为“PA+PB”的形式(<1);
②在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度α,使得sinα=;
③过A作第②步所构造的角的一边垂线,该垂线段即为所求最小值.
【套路练习】
1.如图,△ABC中,BC=2,∠ABC=300,则2AC+AB的最小值为____
2.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是13千米.一天,居民点B着火,消防员受命欲前往救火,若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B.(友情提醒:
消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)
2.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°
,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.
(1)试说明CE是⊙O的切线;
(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长.
3.已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为),点C的坐标为(-1,0),若P为线段OA上一动点,则最小值是.
3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l与x轴、y轴分别交于点B(4,0)、C(0,3),点A为x轴负半轴上一点,AM⊥BC于点M交y轴于点N,满足4CN=5ON.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)连接AC,点D在线段BC上方的抛物线上,连接DC、DB,若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=S△ABC,求点D的坐标;
(3)如图2,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF.一动点P从E出发,沿
段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点P在
图1图2
整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F的坐标.
4.如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=-x+3交于A,B两点,交x轴于D,C两点,连接AC,BC
已知A(0,3),C(3,0).
(1)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;
(2)在
(1)条件下,设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
5、如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(0,-)、C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D。
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则的最小值为________。
(3)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。
1 若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个;
2 连接MA、MB,若∠AMB不小于60°
,求t的取值范围。
6、已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
※
(2)若在第三象限内的点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;
(3)在
(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?
7、如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为.
(1)求证:
四边形是菱形;
(2)连接,若,.
①求的值;
②若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点,到达点后停止运动.当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的长和点走完全程所需的时间.
阿氏圆(阿波罗尼斯圆):
已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似+两点间线段最短解决线段之和的最值问题。
问题提出:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,
连结AP,BP,求AP+BP的最小值.
D
图3
图2
图1
尝试解决:
为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:
如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1
则有==,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴=,∴PD=BP,
∴AP+BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案:
AP+BP的最小值为.
自主探索:
在“问题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为.
拓展延伸:
已知扇形COD中,∠COD=90º
,OC=6,OA=3,OB=5,点P是上一点,
求2PA+PB的最小值.
如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为上一动点,求PC+PD的最小值.
2、如图,点A、B在⊙O上,且OA=OB=12,OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10,动点P在⊙O上,则PC+PD的最小值为?
3、如图,点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的⊙O上运动,则AP+BP的最小值为____
4、如图,点C(2,5),A(7,0),点B是以点C为圆心半径为的圆上一动点,则OB+的最小值为_______
3、如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若=,求m的值;
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°
<α<90°
),连
E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.
费马点:
是指位于三角形(或四边形等)内且到三角形(或四边形等)三个顶点距离之和最短的点
例:
在等腰直角三角形ABC中,腰长为2,点P是三角形ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为_____
1、已知在正方形ABCD内有一点P,若PA+PB+PC的最小值为,求正方形的边长?
2、如图,在Rt△AOC中,∠A=30°
,点O(0,0),C(1,0),点A在y轴正半轴上,以AC为一边做等腰直角△ACP,使得点P在第一象限。
(1)求出所有符合题意的点P的坐标;
(2)在△AOC内部存在一点Q,使得AQ、OQ、CQ之和最小,请求出这个和的最小值。
2、
(1)阅
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- 初三 几何 模型 应用 线段 最小值