吉林省届高考第四次模拟数学理科试题含答案文档格式.docx
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A.B.1C.−1D.−
(6)中国古代数学名著《九章算术》中记载了
公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商
鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若
取3,其体积为(立方寸),则图中的
为()
A.B.
C.D.
(7)已知函数的最大值为2,且满足,则()
A.B.C.或D.或
(8)若正整数除以正整数后的余数为,则记为
,例如.执行如图所示
的程序框图,则输出的结果为()
A.B.C.D.
(9)如图,在矩形中,,以为顶点且
过点的抛物线的一部分在矩形内;
若在矩形内随机地
投一点,则此点落在阴影部分内的概率为()
A.B.
(10)已知满足若有最大值4,则
实数的值为()
A.B.C.D.
(11)已知点、分别为双曲线的右焦点与右支上的一点,
为坐标原点,若,,且,则该双曲
线的离心率为()
A.B.C.D.
(12)已知函数,,存在,使得的最小值为
,则函数图象上一点到函数图象上一点的最短距离为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
二.填空题:
(本题共4小题,每小题5分,共20分)
(13)若,且,则的最小值是__________
(14)若,则+−+…+的
值为
(15)已知、、是球的球面上三点,,,,且棱锥的体积为,则球的表面积为___________
(16)已知外接圆的半径为1,且.若,则的最大值为__________
三.解答题:
(本大题共6小题,其中17-21小题为必考题,每小题12分;
第22—23题为选考题,考生根据要求做答,每题10分)
(17)(本小题满分12分)
已知数列中,,其前项和为,且满足.
(Ⅰ)求证:
数列的通项公式;
(Ⅱ)证明:
当时,.
(18)(本小题满分12分)
某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每公斤元,成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每公斤损失元.根据以往的销售情况,将日需求量按,,,,进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值.
(Ⅰ)求未来连续三天内,该经销商有连续两
天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤,而另
一天日销售量低于公斤的概率;
(Ⅱ)该经销商计划每日进货公斤或
公斤,以每日利润的数学期望值为决策依据.
他应该选择每日进货公斤还是公斤?
(19)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为菱形,
平面,,,
分别是的中点.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)设为线段上的动点,若线段长的最小值为,求二面角的余弦值.
(20)(本小题满分12分)
已知圆C:
与轴交于,(在原点右侧)两点,动点到,两点的距离之和为定值,且的最小值为−.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过且斜率不为零的直线与点的轨迹交于A,B两点,若存在点E,使得是与直线的斜率无关的定值,则称E为“恒点”.问在x轴上是否存在这样的“恒点”?
若存在,请求出该点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若不等式恒成立,其中为自然对数的底数,求的最小值.
请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,设直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程;
(Ⅱ)设为曲线上任意一点,求点到直线的距离的最值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)解关于的不等式;
(Ⅱ)若函数的图象恒在函数图象的上方,求的取值范围.
数学(理科)答案
一.选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
D
二.填空题
13.414.-115.4816.
三.解答题
18.(Ⅰ)由频率分布直方图可知,
日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025+0.0015)×
100=0.4,
则未来连续三天内,有连续两天的日销售量不低于350公斤,而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.4×
0.4×
(1-0.4)+(1-0.4)×
0.4=0.192......4分
(Ⅱ)当每日进货300公斤时,利润Y1可取-100,700,1500,
此时Y1的分布列为:
Y1
-100
700
1500
P
0.1
0.2
0.7
此时利润的期望值E(Y1)=-100×
0.1+700×
0.2+1500×
0.7=1180;
当每日进货400公斤时,利润Y2可取-400,400,1200,2000,
此时Y2的分布列为:
Y2
-400
400
1200
2000
0.3
0.4
此时利润的期望值E(Y2)=-400×
0.1+400×
0.2+1200×
0.3+2000×
=1200;
因为E(Y1)<E(Y2),
所以该经销商应该选择每日进货400公斤.......12分
19.证明:
20.【解析】
(1)由已知,=4与x轴交于(−2,0),(2,0),则||=4,
由题意知|P|+|P|=2a,cos∠P=
=−1=−1≥−1=1−=−,当且仅当|P|=|P|=a时等号成立,因而=6,由椭圆的定义知,P的轨迹为椭圆,且,分别为其左、右焦点,=−=2,
所以所求轨迹方程为+=1…6分
(2)如图,设直线的方程为x=my+2,A(,),B(,),
由,得(m2+3)y2+4my−2=0,
则+=−,=−.(8分)
假设存在这样的“恒点”E(t,0),
则==(−t,)·
(−t,)
=(m+2−t,)·
(m+2−t,)
=(m2+1)+(2−t)m(+)+(2−t)2
=+(2−t)2
=.
若是与直线的斜率无关的定值,则其为与m无关的定值,
则3−18=3−12t+10,得t=,
此时定值为()2−6=−,“恒点”为(,0).(12分)
21.【解析】
(Ⅰ)函数定义域为,由题意得,则,
①当时,,则在上单调递增;
②当时,令,解得,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减…4分
(Ⅱ)设函数,其中为自然对数的底数,
∴,,
当时,,在上是增函数,∴不可能恒成立,
当时,由,得,
∵不等式恒成立,∴,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
∴当时,取最大值,,
∴满足即可,∴,
∴,
令,,
由,得,
当时,,是增函数,
当时,,是减函数,
∴当时,取最小值,
∵时,,时,,,
∴当时,,是减函数,
∴时,取最小值,,
∴的最小值为…12分
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