中考数学真题分类汇编考点25矩形Word文件下载.docx
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AE=DE,得出EF=DE,设EF=x,则DE=3x,由勾股定理求出DF==2x,再由三角函数定义即可得出答案.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵点E是边BC的中点,
∴BE=BC=AD,
∴△BEF∽△DAF,
∴=,
∴EF=AF,
∴EF=AE,
∴由矩形的对称性得:
AE=DE,
∴EF=DE,设EF=x,则DE=3x,
∴DF==2x,
∴tan∠BDE===;
A.
3.(2018•威海)矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( )
A.1B.C.D.
【分析】延长GH交AD于点P,先证△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=PG,再利用勾股定理求得PG=,从而得出答案.
如图,延长GH交AD于点P,
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°
,AD=BC=2、GF=CE=1,
∴AD∥GF,
∴∠GFH=∠PAH,
又∵H是AF的中点,
∴AH=FH,
在△APH和△FGH中,
∵,
∴△APH≌△FGH(ASA),
∴AP=GF=1,GH=PH=PG,
∴PD=AD﹣AP=1,
∵CG=2、CD=1,
∴DG=1,
则GH=PG=×
=,
4.(2018•杭州)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°
,∠CPD=50°
,则( )
A.(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°
B.(θ2+θ4)﹣(θ1+θ3)=40°
C.(θ1+θ2)﹣(θ3+θ4)=70°
D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°
【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理,可得∠ABC=θ2+80°
﹣θ1,∠BCD=θ3+130°
﹣θ4,再根据矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°
,即可得到(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°
.
∵AD∥BC,∠APB=80°
,
∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°
﹣θ1,
∴∠ABC=θ2+80°
又∵△CDP中,∠DCP=180°
﹣∠CPD﹣∠CDP=130°
﹣θ4,
∴∠BCD=θ3+130°
又∵矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°
∴θ2+80°
﹣θ1+θ3+130°
﹣θ4=180°
即(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°
5.(2018•聊城)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为( )
A.(﹣,)B.(﹣,)C.(﹣,)D.(﹣,)
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系,再利用勾股定理得出答案.
过点C1作C1N⊥x轴于点N,过点A1作A1M⊥x轴于点M,
由题意可得:
∠C1NO=∠A1MO=90°
∠1=∠2=∠3,
则△A1OM∽△OC1N,
∵OA=5,OC=3,
∴OA1=5,A1M=3,
∴OM=4,
∴设NO=3x,则NC1=4x,OC1=3,
则(3x)2+(4x)2=9,
解得:
x=±
(负数舍去),
则NO=,NC1=,
故点C的对应点C1的坐标为:
(﹣,).
6.(2018•上海)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.
A、∠A=∠B,∠A+∠B=180°
,所以∠A=∠B=90°
,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形,错误;
C、AC=BD,对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;
D、AB⊥BC,所以∠B=90°
B.
二.填空题(共6小题)
7.(2018•金华)如图2,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,装饰图中的三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形①的边GD在边AD上,则的值是 .
【分析】设七巧板的边长为x,根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB,BC,进一步求出的值.
设七巧板的边长为x,则
AB=x+x,
BC=x+x+x=2x,
==.
故答案为:
8.(2018•达州)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(﹣6,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为 (﹣2,6) .
【分析】连接OB1,作B1H⊥OA于H,证明△AOB≌△HB1O,得到B1H=OA=6,OH=AB=2,得到答案.
连接OB1,作B1H⊥OA于H,
由题意得,OA=6,AB=OC﹣2,
则tan∠BOA==,
∴∠BOA=30°
∴∠OBA=60°
由旋转的性质可知,∠B1OB=∠BOA=30°
∴∴∠B1OH=60°
在△AOB和△HB1O,
∴△AOB≌△HB1O,
∴B1H=OA=6,OH=AB=2,
∴点B1的坐标为(﹣2,6),
(﹣2,6).
9.(2018•上海)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是 .
【分析】先根据要求画图,设矩形的宽AF=x,则CF=x,根据勾股定理列方程可得结论.
在菱形上建立如图所示的矩形EAFC,
设AF=x,则CF=x,
在Rt△CBF中,CB=1,BF=x﹣1,
由勾股定理得:
BC2=BF2+CF2,
x=或0(舍),
即它的宽的值是,
10.(2018•连云港)如图,E、F,G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、HE、EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=,则AB的长为 2 .
【分析】如图,连接BD.由△ADG∽△GCF,设CF=BF=a,CG=DG=b,可得=,推出=,可得b=a,在Rt△GCF中,利用勾股定理求出b,即可解决问题;
如图,连接BD.
∴∠ADC=∠DCB=90°
,AC=BD=,
∵CG=DG,CF=FB,
∴GF=BD=,
∵AG⊥FG,
∴∠AGF=90°
∴∠DAG+∠AGD=90°
,∠AGD+∠CGF=90°
∴∠DAG=∠CGF,
∴△ADG∽△GCF,设CF=BF=a,CG=DG=b,
∴b2=2a2,
∵a>0.b>0,
∴b=a,
在Rt△GCF中,3a2=,
∴a=,
∴AB=2b=2.
故答案为2.
11.(2018•株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P、Q分别为AO、AD的中点,则PQ的长度为 2.5 .
【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10,BO=DO=BD=5,再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5.
∴AC=BD=10,BO=DO=BD,
∴OD=BD=5,
∵点P、Q是AO,AD的中点,
∴PQ是△AOD的中位线,
∴PQ=DO=2.5.
2.5.
12.(2018•嘉兴)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上,DE=1,点F是边AB上一动点,以EF为斜边作Rt△EFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是 0或1<AF或4 .
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上,且是与矩形ABCD的交点,先确定特殊点时AF的长,当F与A和B重合时,都有两个直角三角形.符合条件,即AF=0或4,再找⊙O与AD和BC相切时AF的长,此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点,在之间运动过程中符合条件,确定AF的取值.
∵△EFP是直角三角形,且点P在矩形ABCD的边上,
∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点,
①当AF=0时,如图1,此时点P有两个,一个与D重合,一个交在边AB上;
②当⊙O与AD相切时,设与AD边的切点为P,如图2,
此时△EFP是直角三角形,点P只有一个,
当⊙O与BC相切时,如图4,连接OP,此时构成三个直角三角形,
则OP⊥BC,设AF=x,则BF=P1C=4﹣x,EP1=x﹣1,
∵OP∥EC,OE=OF,
∴OG=EP1=,
∴⊙O的半径为:
OF=OP=,
在Rt△OGF中,由勾股定理得:
OF2=OG2+GF2,
∴,
x=,
∴当1<AF<时,这样的直角三角形恰好有两个,
③当AF=4,即F与B重合时,这样的直角三角形恰好有两个,如图5,
综上所述,则AF的值是:
0或1<AF或4.
三.解答题(共5小题)
13.(2018•张家界)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证.DF=AB;
(2)若∠FDC=30°
,且AB=4,求AD.
【分析】
(1)利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得;
(2)由∠ADF+∠FDC=90°
、∠DAF+∠ADF=90°
得∠FDC=∠DAF=30°
,据此知AD=2DF,根据DF=AB可得答案.
【解答】证明:
(1)在矩形ABCD中,∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAF,
又∵DF⊥AE,
∴∠DFA=90°
∴∠DFA=∠B,
又∵AD=EA,
∴△ADF≌△EAB,
∴DF=AB.
(2)∵∠ADF+∠FDC=90°
,∠DAF+∠ADF=90°
∴∠FDC=∠DAF=30°
∴AD=2DF,
∵DF=AB,
∴AD=2AB=8.
14.(2018•连云
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