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-,是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。
凡是简谐运动沿振动方
向的合力必须满足该条件;
反之,只要沿振动方向的合力满足该条件,那么该振动一定是简谐运动。
(1)简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。
也就是说,在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。
(2)回复力是一种效果力,是振动物体在沿振动方向上所受的合力。
(3)“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置,物体在该位置所受的合外力不一定为零。
(如单摆摆到最低点时,沿振动方向的合力为零,但在指向悬点方向上的合力却不等于零,所以并不处于平衡状态。
)
要点诠释:
简谐运动的位移大小和方向都是相对平衡位置来说的,是从平衡位置指向所在位置的矢量。
2.几个重要的物理量间的关系
要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。
(1)由定义知:
Fx?
,方向与位移方向相反。
(2)由牛顿第二定律知:
aF?
,方向与F方向相同。
(3)由以上两条可知:
ax?
(4)v和xFa、、之间的关系最复杂:
当va、同向(即vF、同向,也就是vx、反向)时v一定增大;
当va、反向(即vF、反向,也就是vx、同向)时,v一定减小。
3.从总体上描述简谐运动的物理量
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。
因此振动物体在空间的运动有一定的范围,用振幅A来描述;
在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所需的时间。
(1)振幅A是描述振动强弱的物理量。
(一定要将振幅跟位移相区别,在简谐运动的振动过程中,振幅是不变的而位移是时刻在改变的)
(2)周期T是描述振动快慢的物理量。
周期由振动系统本身的因素决定,叫固有周期。
任何简谐运动都有共同的周期公式:
2mTk?
?
(其中m是振动物体的质量,k是回复力系数,即简谐运动的判定式Fkx?
-中的比例系数,对于弹簧振子k就是弹簧的劲度,对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了)。
(3)频率也是描述振动快慢的物理量。
周期与频率的关系是1fT?
。
4.表达式
sin()xAt?
,
其中A是振幅,
22fT?
是0t?
时的相位,即初相位或初相。
5.简谐运动的能量特征
振动过程是一个动能和势能不断转化的过程,振动物体总的机械能的大小与振幅有关,振幅越大,振动的能量越大。
简谐运动的振幅不变,总的机械能守恒。
6.简谐运动中路程和时间的关系
(1)若质点运动时间t与周期T的关系满足tnT?
(123n=,,),则4tsAT?
成立
不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动,经历一个周期就完成一次全振动,完成任何一次全振动质点通过的路程都等于4A。
(2)若质点运动时间t与周期T的关系满足2Ttn?
(3)若质点运动时间t与周期T的关系满足4Tt?
,此种情况最复杂,分三种情形
①计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处,一个平衡位置),由简谐运动的周期性和对称性知,sA?
成立。
②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间,向平衡位置运动,则sA>
③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间,向最大位移处运动,则sA<
(4)质点运动时间t为非特殊值,则需要利用简谐运动的振动图象进行计算。
7.简谐运动的位移、速度、加速度及对称性
(1)位移:
方向为从平衡位置指向振子位置,大小为平衡位置到该位置的距离。
位移的表示方法:
以平衡位置为原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某一时刻振子(偏离平衡位置)的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
振子通过平衡位置时,位移改变方向。
(2)速度:
描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的快慢。
在所建立的坐标轴上,速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
振子在最大位移处速度为零,在平衡位置时速度最大,振子在最大位移处速度方向发生改变。
(3)加速度:
根据牛顿第二定律,做简谐运动物体的加速度kaxm?
.由此可知,加速度的大小跟位移大小成正比,其方向与位移方向总是相反。
振子在位移最大处加速度最大,通过平衡位置时加速度为零,此时加速度改变方向。
(4)简谐运动的对称性
①瞬时量的对称性:
做简谐运动的物体,在关于平衡位置对称的两点,回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。
另外速度、动量的大小具有对称性,方向可能相同或相反。
②过程量的对称性:
振动质点来回通过相同的两点间的时间相等,如BCCBtt?
;
质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等,如'
'
BCCBtt?
,如图所示:
①利用简谐运动的对称性,可以解决物体的受力问题,如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体,若已知物体在最高点的合力或加速度,可求物体在最低点的合力或加速度。
但要注意最高点和最低点合力或加速度的方向相反。
②由于简谐运动有周期性,因此涉及简谐运动时,往往出现多解,分析时应特别注意:
物体在某一位置时,位移是确定的,而速度不确定;
时间也存在周期性关系。
要点二、简谐运动的图象
1.简谐运动的图象
以横轴表示时间t,以纵轴表示位移x,建立坐标系,画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线。
2.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时,函数表达式为sinxAt?
,图象如图。
(2)从最大位移处开始计时,函数表达式cosxAt?
3.振动图象的物理意义
表示振动物体的位移随时间变化的规律。
4.从图象中可以知道
(1)任一个时刻质点的位移
(2)振幅A
(3)周期T
(4)速度方向:
由图线随时间的延伸就可以直接看出
(5)加速度:
加速度与位移的大小成正比,而方向总与位移方向相反。
只要从振动图象中认清位移(大小和方向)随时间变化的规律,加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。
要点三、典型的简谐运动
1.弹簧振子
(1)周期2mTk?
,与振幅无关,只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。
(2)可以证明,竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动,周期公式也是2mTk?
这个结论可以直接使用。
在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力;
在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
2.单摆
(1)在一条不可伸长的、质量可以忽略的细线下拴一质点,上端固定,构成的装置叫单摆;
当单摆的最大偏角小于5?
时,单摆的振动近似为简谐运动。
(2)单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力,偏角越大回复力越大,加速度(sing?
)越大,由于摆球的轨迹是圆弧,所以除最高点外,摆球的回复力并不等于合外力。
(3)单摆的周期:
l?
在小振幅摆动时,单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没有关系。
3.简谐运动的两种模型的比较
弹簧振子
单摆
模型示意
特点
(1)忽略摩擦力,弹簧对小球的弹力提供回复力
(2)弹簧的质量可忽略
(1)细线的质量,球的直径均可忽略
(2)摆角?
很小
公式
回复力Fkx?
-
(1)回复力2mTk?
(2)周期2lTg?
【典型例题】
类型一、简谐运动
例1.一弹簧振子做简谐运动,周期为T()
A.若t时刻和()tt?
时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则t?
一定等于T的整数倍
B.若t时刻和()tt?
时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则t?
一定等于/2T的整数倍
C.若tT?
,则在t时刻和()tt?
时刻振子运动的加速度一定相等
D.若T/2t?
时刻弹簧的长度一定相等
【思路点拨】利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。
【答案】C
【解析】对A选项,只能说明这两个时刻振子位于同一位置,如图所示。
设在P点,并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同,t?
可以是振子由P向B再回到P的时间,故认为t?
一定等于T的整数倍是错误的;
对B选项,振子两次到P位置时可以速度大小相等,方向相反,但并不能肯定等于/2T的整数倍,选项B也是错误的;
在相隔一个周期T的两个时刻,振
子只能位于同一位置,其位移相同,合外力相同,加速度必定相同,选项C是正确的;
相隔/2T的两个时刻,振子的位移大小相等、方向相反,其位置可位于P和对称的'
P处,在P处弹簧处于伸长状态,在'
P处弹簧处于压缩状态,弹簧的长度并不相等,选项D是错误的。
【总结升华】利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。
简谐运动的周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回到原来的状态。
简谐运动的对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。
举一反三:
【变式1】一质点做简谐振动,其位移x与时间t的关系曲线如图所示,由可知()
A.质点振动频率是4HzB.=2st时,质点的加速度最大
C.质点的振幅为2cmD.=3st时,质点所受合外力最大
【答案】BC
【解析】由图可知,振动周期为=4sT,因而振动倾率0.25Hzf?
,所以选项A错误。
图中0t=点是振动平衡位置,质点在平衡位置时所受合外力为零,速度最大,加速度为零;
质点在最大位移处所受合外力最大,加速度最大,速度为零,因而选项B正确,选项D错误。
振幅是质点偏离平衡位置的最大位移,由图可见,质点偏离平衡位置的最大位移为2cm,振幅为2cm,因而选项C正确。
【高清课堂:
机械振动复习与巩固例9】
【变式2】一个单摆做简谐运动,其振动图象如图所示:
该单摆的周期_____sT?
在2.0s末,摆球对于平衡位置的位移_______cmx?
【答案】2.0s10cm
类型二、简谐振动与运动合成的综合
例2.(2015咸宁校级期中)如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,C为弧形槽最低点,R?
.甲球从弧形槽的球心处自由下落,乙球从A点由静止释放,问:
(1)两球第1次到达C点的时间之比.
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲,让其自由下落,同时将乙球从圆弧左侧由静止释放,欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇,则甲球下落的高度h是多少?
【答案】
(1)22π
(2)22(21)8nπR?
(n=0,1,2,…)
【解析】
(1)甲球做自由落体运动
2112Rgt?
,所以12Rtg?
乙球沿圆弧做简谐运动(由于ACR,可认为摆角θ<5°
).此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同,故此等效摆长为R,因此乙球第1次到达C处的时间为2112442Rπ
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