分母中含有未知数的方程叫做分式方程Word下载.docx
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(3)验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是零,说明此根是原方程的根;
若结果是零,说明此根是原方程的增根,必须舍去.见例1.
(4)写出方程的解.
解分式方程的一般步骤列表如下:
4、列分式方程解应用题的步骤
(1)审清题意,找出题目的等量关系,设出未知数.
(2)根据等量关系,列出分式方程.
(3)解分式方程,并验根.
(4)写出答案.
二、重难点知识归纳
分式方程的解法及应用既是重点,又是难点.
三、例题赏析
例1、解下列分式方程:
分析:
(1)先确定最简公分母为2(x-1),再按步骤求解.
(2)先将2-x化为-(x-2),然后去分母求解.
(3)先将分母分解因式,再确定公分母为6x(x+1).
解:
(1)方程两边同乘以2(x-1),得
2x=3-4(x-1)
解之得
检验:
当
时,2(x-1)
∴
是原方程的根.
(2)方程两边同乘以(x-2),得
x-3+(x-2)=-1
2x-5=-1
解之得x=2
将x=2代入最简公分母x-2=0,
∴x=2为原方程的增根.
∴原方程无解.
(3)原方程可变为:
方程两边同乘以6x(x+1),得
12x+6=5x
将
代入最简公分母
是原方程的解.
例2、甲乙两地相距150千米,一轮船从甲地逆流航行至乙地,然后又从乙地返回甲地,已知水流速度为3千米/时,回来时所用时间是过去的
求轮船在静水中的速度.
本题的基本量之间的关系有:
路程=速度×
时间,v逆=v静-v水,v顺=v静+v水,本题的等量关系为
设轮船在静水中的速度为x千米/时
则v逆=(x-3)千米/时,v顺=(x+3)千米/时
根据题意得
解之得x=21
经检验,x=21是所列方程的解.
答:
船在静水中的速度是21千米/时.
例3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做一天后,再由两队合作2天,就完成了全部工程.已知甲队单独完成工作所需的天数是乙队单独完成所需天数的
求甲、乙两队单独完成各需多少天?
本题是研究甲、乙两队的工程问题,他们单独工作的工作量、工作效率、工作时间列表如下:
工作量
工作效率
工作时间(天)
甲队
1
乙队
x
甲、乙合作工作的工作量、效率、时间如表所示:
甲、乙合作
2
相等关系:
乙做一天的工作量+甲、乙合作2天的工作量=1
设乙单独完成工程需x天,那么甲单独完成需
天.
则根据题意,得
即
解得x=6经检验,x=6是原方程的根.
甲、乙两队单独完成分别需要4天和6天.
例4、解下列关于字母x的方程:
(1)m2(x-n)=n2(x-m)(m2≠n2)
(2)ay-bx=1(ab≠0)
这三个方程中,x是未知数,其他字母都是已知数,其步骤与解数字系数的方程相同,在最后系数化1时,注意字母的取值范围.
(1)去括号,m2x-m2n=n2x-n2m
m2x-n2x=m2n-mn2
(m2-n2)x=mn(m-n)
∵m2≠n2,∴m2-n2≠0
∴方程两边同除以(m2-n2)
(2)由ay-bx=1得
ay-1=bx
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0
∴方程两边同除以b,得
(3)去分母:
b(x-b)=2ab-a(x-a)
bx-b2=2ab-ax+a2
bx+ax=b2+2ab+a2
(b+a)x=(a+b)2
∵a+b≠0
∴方程两边同除以a+b,
得x=a+b
例5、解方程:
解法一:
方程两边同乘以abx得
bx+a2b=ax+ab2
bx-ax=ab2-a2b
(b-a)x=ab(b-a)
∵a≠b,∴a-b≠0
将x=ab代入原方程
∴x=ab为原方程的解.
解法二:
由原方程得:
方程两边同乘以abx
ab(a-b)=(a-b)x
∵a≠b,∴a-b≠0
例6、分别求出下列公式中的未知量:
(1)在公式
求t2(a≠0).
(2)在公式
求u(f≠v).
求公式中的某一个量,这个量就是未知数,其余量均为已知数.
a(t2-t1)=v2-v1
at2-at1=v2-v1
at2=at1+v2-v1
∵a≠0,
(2)去分母:
vf+uf=uv
uf-uv=-vf
u(f-v)=-vf
∵f≠v,∴f-v≠0
例7、解方程:
原方程可化为:
去分母,得-3(x-6)(x-9)=-3(x-5)(x-8)
即(x-6)(x-9)=(x-5)(x-8)
∴x2-15x+54=x2-13x+40
-2x=-14,∴x=7
将x=7代入方程,
∴x=7是原方程的根.
直接通分
去分母,得(x-6)(x-9)=(x-5)(x-8)
解之得x=7
将x=7代入(x-5)(x-8)(x-6)(x-9)≠0
例8、编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题,并解答,编写要求:
(1)要联系实际生活,其解符合实际.
(2)根据题意列出的分式方程只含有两项分式,不含常数项,分式的分母均含有未知数,并且可化为一元一次方程.
(3)题目完整,题意清楚.
本题着重从三步考虑:
①依题意,确定一个有意义的数字.
如5,当作所列应用题方程的一个根,建立一个题设要求的等式:
②把上述等式中的5用未知数x代替,变等式方程为分式方程.即
③根据方程编出应用题.
甲、乙二人做某种机器零件,已知甲每小时比乙多做2个,甲做10个所用的时间与乙做6个所用时间相等.求甲、乙每小时各做多少个?
设甲每小时做x个,则乙每小时做(x-2)个,
根据题意,
整理,得10x-20=6x,∴x=5
经检验,x=5是所列方程的根.
答:
甲每小时做5个,乙每小时做3个.
说明:
(1)本题考查列分式方程解应用题和编应用题的逆向思维能力.题目属于开放性问题,答案不唯一.
(2)解此类题的关键是先找好等量关系,确定出相等的式子,如本例中的:
由此式,再去确定问题情景,也可用于下列问题.
甲、乙二人步行去某地,甲的速度比乙的速度快2千米/时,又知甲步行10千米与乙步行6千米的时间相同,求甲、乙二人的速度各是多少?
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