学年广东省高二上学期期末质量检测数学文试题Word版含答案Word格式文档下载.docx
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6.已知是两个不重合的平面,直线,直线,则“相交”是“直线异面”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】若“相交”,有可能直线“相交”,所以不是充分条件,反过来,若“不相交”,那,也就能推出,即不异面,这个命题的逆否命题就是“异面”,则相交,所以是必要不充分条件,故选B.
7.把双曲线的实轴变虚轴,虚轴变实轴,那么所得到的双曲线方程为()
A.B.C.D.以上都不对
【解析】焦点在轴,,所以得到的双曲线方程为,故选A.
8.下列判断错误的是()
A.命题“若,则”是假命题
B.直线不能作为函数图象的切线
C.“若,则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题
D.“”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件
【答案】D
【解析】A.若,等式成立,此时为任意实数,所以是假命题,正确;
B.,所以函数上任一点的切线斜率都是负数,不可能是,也正确;
C.两条直线垂直,解得,原命题正确,那么逆否命题也正确;
D.应是既不充分也不必要条件,因为后,还需判断两侧的单调性,判断是否变号,变号才是极值点,反过来,在处取得极值,也不一定,例如:
,在处,就不满足,所以D不正确,故选D.
9.已知,则()
A.0B.C.D.
【解析】,,,那么,故选D.
10.如图,一个几何体的三视图是三个直角三角形,则该几何体中最长的棱长等于()
A.B.C.D.9
【解析】该几何体如下图红色线所示,最长的棱为,故选B.
【点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类:
①三视图为三个三角形,对应的几何体为三棱锥;
②三视图为两个三角形,一个四边形,对应的几何体为四棱锥;
③三视图为两个三角形,一个圆,对应的几何体为圆锥;
④三视图为一个三角形,两个四边形,对应的几何体为三棱柱;
⑤三视图为三个四边形,对应的几何体为四棱柱;
⑥三视图为两个四边形,一个圆,对应的几何体为圆柱.除了熟记这些,还需会根据三视图还原几何体的正放,侧放的位置,另外一个比较有效的方法是将几何体放在正方体或长方体中.
11.已知椭圆上一点关于原点的对称点为点,为其右焦点,若,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围是()
【解析】,所以,那么,,根据对称性可知,,整理为,因为,所以,计算,所以,故选A.
【点睛】考查椭圆离心率时,先分析所给的条件是不是有明显的几何关系,如果有就要用上平面几何的性质,比如本题,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,直角三角形内三边的表示,以及椭圆的对称性和椭圆的定义相结合,最后才有用角表示离心率,利用三角函数求范围.
二、填空题
12.已知,函数,若满足关于的方程,则下列选项的命题中为假命题的是()
A.B.
C.D.
【解析】由条件可知,是函数的对称轴,并且是函数的顶点,所以是函数的最小值,所以C不正确,故选C.
13.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且同一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为__________.
【答案】
【解析】设该球的半径为,则,所以此球的表面积为.
14.已知两圆和相交于两点,则直线的方程是__________.
【解析】将化为,两圆方程相减得,即,即直线的方程是.
15.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为__________.
【解析】试题分析:
因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到底面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为.
【考点】几何体的体积的计算.
16.已知抛物线,为其焦点,为其准线,过任作一条直线交抛物线于两点,分别为在上的射影,为的中点,给出下列命题:
①;
②;
③;
④与的交点在轴上;
⑤与交于原点.
其中真命题是__________.(写出所有真命题的序号)
【答案】①②③④⑤
【解析】因为在抛物线上,由抛物线的定义,得,又分别为在上的射影,所以,即①正确;
取的中点,则,所以,即②正确;
由②得平分,所以,又因为,所以,即③正确;
取轴,则四边形为矩形,则与的交点在轴上,且与交于原点,即④⑤正确;
故填①②③④⑤.
点睛:
要注意填空题的一些特殊解法的利用,可减少思维量和运算量,如本题中的特殊位置法(取轴).
三、解答题
17.设命题:
实数满足,其中;
命题:
实数满足.
(1)若且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
(1);
(2).
(1)命题是一元二次不等式,解得,即.命题是分数不等式,解得,为真,也就是这两个都是真命题,故取它们的交集得;
(2)是的充分不必要条件,则是的必要不充分条件,即是的真子集,故,即.
试题解析:
(1)由得,
又,所以,
当时,1<
即为真时实数的取值范围是1<
.
为真时等价于,得,
即为真时实数的取值范围是.
若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.
(2)是的充分不必要条件,即,且,等价于,且,
设A=,B=,则BA;
则0<
且所以实数的取值范围是.
【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断.
18.已知圆,直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点.
(1)当与垂直时,求出点的坐标,并证明:
过圆心;
(2)当时,求直线的方程.
(2)或.
(1)根据两直线垂直,求得直线的斜率为3,这样求出直线的方程,联立两直线方程求交点的坐标,并代入圆心坐标;
(2)根据直线与圆相交,求出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式求出直线的斜率,得到直线的方程.
(1)由题意,直线的方程为,
将圆心代入方程易知过圆心,
联立得,所以.
(2)当直线与轴垂直时,易知符合题意;
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,
由,得,解得.
故直线的方程为或.
19.已知函数,其中且.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,若存在,使成立,求实数的取值范围.
(1)当时,的增区间是,减区间是,
当时,的减区间是,增区间是
(2)
(1)先求函数导数,根据的正负讨论导数符号变化规律,进而得单调区间
(2)对应不等式有解问题,一般利用变量分离法,转化为对应函数最值问题:
最大值,再利用导数求函数最大值,先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而得出单调性,确定极值与最值
(1)定义域为,
当时,时,;
时,,
时,
所以当时,的增区间是,减区间是,
当时,的减区间是,增区间是
(2)时,,由得:
,
设,
所以当时,;
当时,,
所以在上递增,在上递减,
,所以的取值范围是
【考点】利用导数求函数单调区间,利用导数求函数最值
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.
20.如图1,在中,,是斜边上的高,沿将折成的二面角.如图2.
(1)证明:
平面平面;
(2)在图2中,设为的中点,求异面直线与所成的角.
(1)证明见解析;
(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证;
(2)借助题设及异面直线所成角的定义运用余弦定理求解.
因为折起前是边上的高,则当△折起后,
,,
又,则平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)解:
取的中点,连结,则,
所以为异面直线与所成的角,
连结、,设,则,,,,
在中,,
在中,由题设,则,
即,
从而,,
在△中,,
在中,.
所以异面直线与所成的角为.
【考点】面面垂直的判定定理及余弦定理等有关知识的综合运用.
21.已知函数.
(1)若图象上的点处的切线斜率为,求的极大值;
(2)若在区间上是单调减函数,求的最小值.
(1)当时,取极大值;
(2)最小值为.
(1)根据导数的几何意义可知,,解得,代入函数后求函数的导数,并根据导数零点判断两侧的单调性,求函数的极大值;
(2)将问题转化为,当恒成立,即,这样就转化为关于的二元一次不等式组,求目标函数的最小值.
(1)∵,
∴由题意可知:
,且,
∴得:
∴,
令,得,
由此可知:
3
+
-
↗
极大值
↘
极小值
∴当时,取极大值.
(2)∵在区间上是单调减函数,
∴在区间上恒成立,
根据二次函数图象可知且,得
即,作出不等式组表示的平面区域如图:
当直线经过交点时,
取得最小值,
∴的最小值为.
【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题,求导后变为二次函数,所以要熟练掌握二次函数的问题,比如开口,以及与轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响,如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0,这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组,进行求解.
22.已知椭圆经过点,它的左焦点为,直线与椭圆交于,两点,的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点是直线上的一个动点,过点作椭圆的两条切线、,分别为切点,求证:
直线过定点,并求出此定点坐标.(注:
经过椭圆上一点的椭圆的切线方程为).
(2)定点坐标为.
(1)根据椭圆的定义可知的周长为,即,解得:
,再代入点的坐标,求得椭圆方程;
(2)设,写出过这两点的切线方程,并代入点的坐标,得到直线的方程,求出定点.
(1)由题意得:
又∵椭圆过点,∴,∴,
∴椭圆的方程为.
(2)由题意得:
,设,
则直线,直线,
又在上述两切线上,∴,
∴直线,
即:
,由得,
∴直线过定点,且定点坐标为.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的考查是高考的热点,其中会涉及设直线方程或设未知点的问题,当题中涉及多条直线时,需考虑哪条是关键直线,那么这条直线与圆锥曲线的交点就设出
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