新课标天津市高考数学二轮复习题型练7大题专项五解析几何综合问题理Word格式文档下载.docx
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3.设椭圆=1(a>
)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
4.(2018北京,理19)已知抛物线C:
y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ=μ,求证:
为定值.
5.已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
6.
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
题型练7 大题专项(五)
解析几何综合问题
1.解
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b.
由|FB|·
|AB|=6,可得ab=6,
从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>
y2>
0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,
故|AQ|=y2.
由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=
所以,k的值为
2.解
(1)由题意得解得a=2,b=1.
故椭圆C的方程是+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=
Δ>
0⇒4k2+1>
t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k2+kt+t2=
因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.
因为x1x2+y1y2==0,
所以5t2=4+4k2.因为Δ>
0,所以4k2+1>
t2,解得t<
-或t>
又设A,B的中点为D(m,n),则m=,n=
因为直线PD与直线l垂直,
所以kPD=-,得
由解得
当t=-时,Δ>
0不成立.当t=1时,k=±
所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
3.解
(1)设F(c,0),由,
即,可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组
消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=,
由题意得xB=,从而yB=
由
(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),
由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得yH=
因此直线MH的方程为y=-x+
设M(xM,yM),由方程组消去y,
解得xM=
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,
即(xM-2)2+,化简得xM≥1,即1,解得k≤-,或k
所以,直线l的斜率的取值范围为
4.
(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意,Δ=(2k-4)2-4×
k2×
1>
0,
解得k<
0或0<
k<
1.
又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.
所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).
由
(1)知x1+x2=-,x1x2=
直线PA的方程为y-2=(x-1).
令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=+2.
同理得点N的纵坐标为yN=+2.
由==,
得λ=1-yM,μ=1-yN.
所以
=
==2.
所以为定值.
5.解由题知F
设l1:
y=a,l2:
y=b,则ab≠0,
且A,B,P,Q,R
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:
由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
则k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=
由题设可得2|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以,所求轨迹方程为y2=x-1.
6.解
(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,
所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.
(2)由
(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>
0,y0>
0.
当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.
当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为
因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,
从而直线l1的方程:
y=-(x+1),①
直线l2的方程:
y=-(x-1).②
由①②,解得x=-x0,y=,
所以Q
因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±
y0,即=1或=1.
又P在椭圆E上,故=1.
由解得x0=,y0=无解.
因此点P的坐标为
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