学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ124诱导公式二学案新人教B版必修4含答案Word文档下载推荐.docx
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sin(-α+)=cosα,
tan(-α+)=cotα,
cot(-α+)=tanα.
梳理 ±
α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,简记为:
“函数名改变,符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
类型一 利用诱导公式求值
例1
(1)已知cos(π+α)=-,α为第一象限角,求cos的值;
(2)已知cos=,求cos·
sin的值.
反思与感悟 对于这类问题,关键是要能发现它们的互余、互补关系:
如-α与+α,+α与-α,-α与+α等互余,+θ与-θ,+θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.
跟踪训练1 已知sin=,求cos的值.
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证:
=-tanα.
反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法:
(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法:
即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合法:
即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,简言之,即化异为同.
跟踪训练2 求证:
=.
类型三 诱导公式在三角形中的应用
例3 在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状.
反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件,如在△ABC中,A+B+C=π,=,结合诱导公式得到以下的一些常用等式:
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin=cos,cos=sin.
跟踪训练3 在△ABC中,给出下列四个式子:
①sin(A+B)+sinC;
②cos(A+B)+cosC;
③sin(2A+2B)+sin2C;
④cos(2A+2B)+cos2C.
其中为常数的是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
类型四 诱导公式的综合应用
例4 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若角A是△ABC的内角,且f(A)=,求tanA-sinA的值.
反思与感悟 解决此类问题时,可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式,这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
跟踪训练4 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求·
tan2(π-α)的值.
1.已知sin=,则cos的值为( )
A.-B.
C.D.-
2.若cos(2π-α)=,则sin(-α)等于( )
A.-B.-
C.D.±
3.已知tanθ=2,则等于( )
A.2B.-2C.0D.
4.已知cos=2sin,
求的值.
5.已知sin(π+α)=-.计算:
(1)cos;
(2)sin;
(3)tan(5π-α).
1.诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类:
①α+k·
2π,-α,α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,为了便于记忆,可简单地说成“函数名不变,符号看象限”.
②α+,-α+的三角函数值,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.
(2)以上两类公式可以归纳为:
k·
+α(k∈Z)的三角函数值,当k为偶数时,得α的同名函数值;
当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值,常采用“负角化正角,大角化小角,最后转化成(0,)内的三角函数值”这种方式求解.
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤:
答案精析
问题导学
知识点一
思考 如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P,则点P的坐标为(cosα,sinα).
点P关于直线y=x的对称点为M,点M也在单位圆上,且M点坐标为(sinα,cosα).
点M关于y轴的对称点为N,点N也在单位圆上,且N点坐标为(-sinα,cosα).
另一方面,点P经过以上两次轴对称变换到达点N,等同于点P沿单位圆旋转到点N,且旋转角的大小为∠PON=2(∠AOM+∠MOB)=2×
因此点N是角α+与单位圆的交点,点N的坐标为
.
所以有cos=-sinα,
sin=cosα,
故tan=-cotα,
cot=-tanα.
梳理 -sinα cosα -cotα -tanα
题型探究
例1 解
(1)∵cos(π+α)=-cosα
=-,
∴cosα=,又α为第一象限角,
则cos=-sinα
=-
=-=-.
(2)cos·
sin
=cos·
=-cos·
=-sin
=-cos=-.
跟踪训练1 .
例2 证明 ∵左边=
=
==-
=-tanα=右边.
∴原等式成立.
跟踪训练2 证明 因为左边=
==.
右边==.
所以左边=右边,故原等式成立.
例3 解 ∵A+B+C=π,
∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.
∵sin=sin,
∴sin=sin,
∴sin(-C)=sin(-B),
即cosC=cosB.
又∵B,C为△ABC的内角,∴C=B,
∴△ABC为等腰三角形.
跟踪训练3 B
例4 解
(1)f(α)=
=cosα.
(2)因为f(A)=cosA=,
又A为△ABC的内角,
所以由平方关系,得sinA==,所以tanA==,
所以tanA-sinA=-=.
跟踪训练4 -
当堂训练
1.D 2.A 3.B
4.解 ∵cos=2sin,
∴-sinα=-2sin,
∴sinα=2cosα,即tanα=2.
∴
==
5.解 ∵sin(π+α)=-sinα=-,
∴sinα=.
(1)cos=cos
=-sinα=-.
(2)sin=cosα,cos2α=1-sin2α=1-=.
∵sinα=,
∴α为第一或第二象限角.
①当α为第一象限角时,sin=cosα=.
②当α为第二象限角时,
sin=cosα=-.
(3)tan(5π-α)=tan(π-α)=-tanα,
①当α为第一象限角时,cosα=,
∴tanα=,
∴tan(5π-α)=-tanα=-.
②当α为第二象限角时,cosα=-,tanα=-,
∴tan(5π-α)=-tanα=.
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