江苏省南京师大附中届高三段考数学试题 Word版含答案文档格式.docx
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5.直线xcosα+
y+2=0(α∈R)的倾斜角的范围是▲.
6.设函数f(x)是奇函数且周期为3,f(-1)=-1,
则f(2014)=▲
7.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,
则输出i的值为▲.
8.若等边三角形ABC的边长为2
,平面内一点M满足
,则
9.有下面四个判断:
①命题“设a、b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题;
②若“p或q”为真命题,则p、q均为真命题;
③命题“∀a、b∈R,a2+b2≥2(a-b-1)”的否定是“∃a、b∈R,a2+b2≤2(a-b-1)”;
④若函数f(x)=ln
的图象关于原点对称,则a=3.
其中正确的有▲个.
10.若双曲线
-
=1的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为▲.
11.设n为正整数,f(n)=1+
+
+…+
,计算得f
(2)=
,f(4)>2,f(8)>
,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为▲.
12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,
SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为▲.
13.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为▲.
14.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x·
y)=xf(y)+yf(x)
成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2.则数列的通项公式an=▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且b2=
ac.
(1)求证:
cosB≥
;
(2)若cos(A-C)+cosB=1,求角B的大小.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠ACB=90°
,BC=CC1,E,F分别为AB,AA1的中点.
直线EF∥平面BC1A1;
(2)求证:
EF⊥B1C.
17.(本小题满分14分)
经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),日旅游人数
(万人)与时间
(天)的函数关系近似满足
,人均消费
(元)与时间
.
(Ⅰ)求该城市的旅游日收益
(万元)与时间
的函数关系式;
(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元).
18.(本小题满分16分)
已知抛物线D的顶点是椭圆C:
=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D的方程;
(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点.
①若直线l的斜率为1,求MN的长;
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值?
如
果存在,求出m的方程;
如果不存在,说明理由.
19.(本小题满分16分)
设函数
(1)讨论
的单调性;
(2)若
有两个极值点
,记过点
的直线的斜率为
,问:
是否存在
,使得
若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
记数列
的前
项和为
(
N*),若存在实常数
,
,对于任意正整数
,都有
成立.
(1)已知
,求证:
数列
N*)是等比数列;
(2)已知数列
N*)是等差数列,求证:
(3)已知
且
.设
为实数,若
N*,
求
的取值范围.
南京师大附中2015届高三12月段考试卷
数学2014.12.30
解析 -3+i-1+i|=|-4+2i|=
=
=2
.
答案 2
解析 设正方形的边长为2,则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为
答案
解析
(12×
20+15×
40+18×
30+21×
10)=15.9(天).
答案 15.9
解析 因为α∈
,sinα=
,所以cosα=
所以cos
=-
(cosα-sinα)=-
答案 -
解析:
由xcosα+
y+2=0得直线斜率k=-
cosα.
∵-1≤cosα≤1,∴-
≤k≤
设直线的倾斜角为θ,则-
≤tanθ≤
结合正切函数在
∪
上的图象可知,0≤θ≤
或
≤θ<
π.
6.设函数f(x)是奇函数且周期为3,f(-1)=-1,则f(2014)=▲.
解析 因为f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),f(-1)=-1,所以f
(1)=1,f(2014)=f(3×
671+1)=f
(1)=1.
答案 1
7.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,
解析 第一次运行结束:
i=1,a=2;
第二次运行结束:
i=2,a=5;
第三次运行结束:
i=3,a=16;
第四次运行结束:
i=4,a=65,故输出i=4.
答案 4
解析 建立直角坐标,由题意,设C(0,0),A(2
,0),B(
,3),则M
·
=-2.
答案 -2
解析对于①:
此命题的逆否命题为“设a、b∈R,若a=3且b=3,则a+b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,①错误;
“p或q”为真,则p、q至少有一个为真命题,②错误;
“∀a、b∈R,a2+b2≥2(a-b-1)”的否定是“∃a、b∈R,a2+b2<
2(a-b-1)”,③错误;
对于④:
若f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数,则f(0)=ln(a+2)=0,解得a=-1,④错误.
答案0
双曲线
=1的渐近线方程为y=±
x,即
x±
ay=
0,圆(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为r=2,如图,由
圆的弦长公式得弦心距|CD|=
,另一方面,圆心
C(2,0)到双曲线
=1的渐近线
x-ay=0的距离为d=
,所以
,解得a2=1,即a
=1,该双曲线的实轴长为2a=2.
解析由前四个式子可得,第n个不等式的左边应当为f(2n),右边应当为
,即可得一般的结论为f(2n)≥
答案f(2n)≥
12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为▲.
解析 由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面都是△ABC,O是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍,
所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍.
在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1,如图所示,
S△ABC=
×
AB2=
,高OD=
∴VS-ABC=2VO-ABC=2×
解析 若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x>
0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥
.设g(x)=
,则g′(x)=
所以g(x)在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,因此g(x)max=g
=4,从而a≥4.
当x<
0,即x∈[-1,0)时,同理a≤
g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,
综上可知a=4.
解析 由an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf
(2)=2an+2n+1,得
+1,所以
是首项为1,公差为1的等差数列,所以
=n,an=n·
2n.
答案 n·
2n
ac.
解
(1)因为cosB=
……………2分
≥
,所以cosB≥
……6分
(2)因为cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC=1,
所以sinAsinC=
.……………8分
又
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