二次函数图象及性质Word文档下载推荐.docx
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例1
1、下列函数中哪些是二次函数,哪些不是,如果是二次函数,指出二次项系数、一次项系数、常数项.
①y=1-3x2;
②y=x(x-5);
③y=;
④y=3(x-1)(x+2);
⑤y=x4+2x2+1;
⑥y=(x-1)2-x2.
2、若函数y=(m2+m)+(m2+3m+2)x+m2+2m是关于x的二次函数,求m的值.
练习
①y=x2;
②y=;
③y=2x2-x-1;
④y=x(1-x);
⑤y=(x-1)2-(x+1)(x-1).
2、若函数y=(m2-1)是关于x的二次函数,求m的值.
模块二二次函数的图象及性质
探究一:
二次函数y=ax2的图象及性质
1.1、在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象.
第一步,列表.(已完成)
x
-3
-2
-1
1
2
3
y=x2
9
4
-4
8
4.5
0.5
-1.5
-0.5
1.5
y=2x2
第二步,描点.(已完成)
第三步,连线.(请完成)
思考:
(1)函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点?
(2)当a>0时,二次函数y=ax2的图象有什么特点?
1.2、在同一直角坐标系中,画出函数y=-x2,y=x2,y=-2x2的图象.
(1)函数y=-x2,y=-2x2的图象与函数y=-x2的图象相比,有什么共同点和不同点?
(2)当a<0时,二次函数y=ax2的图象有什么特点?
总结归纳
抛物线y=ax2有如下特点:
(1)当a>0时,抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最____点;
当a<0时,抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最____点.
对于抛物线y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越______.
(2)抛物线y=ax2的对称轴是____轴,顶点坐标是______.
(3)从二次函数y=ax2的图象可以看出:
如果a>0,当x<0时,y随着x的增大而______,
当x>0时,y随着x的增大而________;
如果a<0,当x<0,y随着x的增大而_______,
当x>0,y随着x的增大而________.
探究二:
二次函数y=a(x-h)2+k的图象及性质
2.1、在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
(1)抛物线y=2x2+2,y=2x2-3的开口方向、对称轴和顶点各是什么?
与抛物线y=2x2有什么关系?
(2)抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系?
抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时,抛物线的开口_____,顶点是抛物线的最_____点;
当a<0时,抛物线的开口______,顶点是抛物线的最________点.
对于抛物线y=ax2+k,|a|越大,抛物线的开口越________.
(2)对于抛物线y=ax2+k的对称轴是______轴,顶点坐标是________.
(3)从二次函数y=ax2+k的图象可以看出:
(4)函数y=ax2+k的图象可以看作是由函数y=ax2的图象向上或向下平移|k|个单位得到的,当k>0时,向______平移;
k<0时,向_______平移.
(5)k决定了函数图象与y轴的交点坐标:
__________.
2.2、在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
(1)抛物线y=(x+1)2,y=(x-1)2与抛物线y=x2有什么关系?
(2)抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系?
抛物线y=a(x-h)2有如下特点:
(1)当a>0时,抛物线的开口______,顶点是抛物线的最______点;
对于抛物线y=a(x-h)2,|a|越大,抛物线的开口越________.
(2)对于抛物线y=a(x-h)2的对称轴是______轴,顶点坐标是________.
(3)从二次函数y=a(x-h)2的图象可以看出:
如果a>0,当x<h时,y随着x的增大而______,
当x>h时,y随着x的增大而________;
如果a<0,当x<h,y随着x的增大而_______,
当x>h,y随着x的增大而________.
(4)函数y=a(x-h)2的图象可以看作是由函数y=ax2的图象向上或向下平移|h|个单位得到的,当h>0时,向______平移;
h<0时,向_______平移.
2.3、在同一直角坐标系中,画出函数y=(x+1)2-1的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点,怎样移动移动抛物线y=x2就可以得到抛物线y=(x+1)2-1?
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
当a<0时,抛物线的开口______,顶点是抛物线的最______点.
对于抛物线y=a(x-h)2+k,|a|越大,抛物线的开口越________.
(2)抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是______,顶点坐标是________.
(3)从二次函数y=a(x-h)2+k图象可以看出:
当x>h时,y随着x的增大而______;
如果a<0,当x<h时,y随着x的增大而_______,
当x>h时,y随着x的增大而________.
(4)一般的,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状______,位置_______.(h、k不全为0)
把抛物线y=ax2向左(右)平移|h|个单位,向上(下)平移|k|个单位,可以得到.
抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
当h>0时,向_____平移,当h<0时,向____平移;
当k>0时,向_____平移,当k<0时,向____平移.
探究三:
二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质
3.1、我们知道一元二次方程2x2+4x-1=0可以通过配方得到(x+1)2=.结合前面学习的抛物线y=a(x-h)2+k的图象及性质,能否利用这些知识讨论二次函数y=x2-6x+21的图象和性质?
一般的,二次函数内y=ax2+bx+c可以通过配方法化成y=a(x-h)2+k的形式,即:
y=,它也叫做二次函数的顶点式.抛物线y=ax2+bx+c有如下特点:
对于抛物线y=ax2+bx+c,|a|越大,抛物线的开口越________.
(2)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是______,顶点坐标是________.
(3)从二次函数y=ax2+bx+c图象可以看出:
如果a>0,当x<时,y随着x的增大而______,
当x>时,y随着x的增大而______;
如果a<0,当x<时,y随着x的增大而_______,
当x>时,y随着x的增大而________.
模块三二次函数图象及性质的运用
例2
1、在同一直角坐标系中,一次函数y=mx+m和二次函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是_______.
2、在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是()
3、在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(b>0)与一次函数y=ax+c的大致图象可能是_________,并说明你的理由.
1、在同一直角坐标系中,一次函数y=mx+n和二次函数y=mx2+n的图象大致为()
2、如图所示,当b<0时,函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图像可能是()
拓展
已知a、b为常数,且b>0,抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一,求a的值.
例3
1、如图,抛物线①②③④对应的解析式为y=a1x2,y=a2x2,y=a3x2,y=a4x2.请你比较a1、a2、a3、a4的大小关系并说明理由.
2、下图是y=ax2+bx+c的图象,若M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则M=____________.
3、已知:
a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()
1、如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的是()
A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<
0D.h>0,k<0
2、二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:
若点A(x1,y2),B(x2,y2)在此函数图象上,x1<x2<1,则y1与y2的大小关系()
A.y1≤y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1>y2
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列六个代数式:
ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b中,值为正数的式子是______________________.
例4
1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:
①a+b+c<0;
②a-b+c>1;
③abc>0;
④4a-2b+c<0;
⑤c-a>1.判断上述结论的正误,并说明理由.
2、如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点且对称轴为x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;
②4a-2b+c<0;
③ac>0;
④当y<0时,x<-1或x>2.判断
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