定积分的概念教学设计Word文档下载推荐.doc
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认知层次
知识点
识记
理解
应用
综合
知识点1
定积分的概念和表示
∨
知识点2
定积分的几何意义
知识点3
定积分的求法和基本性质
目标设计
1.定积分的概念
2.定积分法求简单的定积分
3.定积分的几何意义
情境一:
从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现,它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决,且都归结为求一个特定形式和的极限
事实上,许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。
那能否用一个统一的概念将它们都涵盖呢?
定积分的概念:
一般地,设函数在区间上连续,用分点
将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上取一点,作和如果无限接近于(亦即)时,上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分。
记为(其中,分别叫做积分上限和积分下限,为积分区间,成为被积函数,叫做积分变量,叫做被积式)。
问题1:
定积分主要取决于哪些因素?
(被积函数与积分上、下限)
问题2:
定积分的大小与积分变量所用字母有无关系?
即与、是何关系?
(三者相等)
问题3:
定积分是不是等于?
(不是,应该是当时该式子的极限,是一个确定常数)
问题4:
“函数在区间上连续”是否可以去掉?
为什么?
(不可以。
因为它是定积分存在的保证。
实际上,函数连续是定积分存在的充分不必要条件)
问题5:
被积式表示的是不是和的乘积,定积分的表示符号能否分割开?
(不是。
定积分的表示符号是一个不可分割的整体)
情境二:
定积分的几何意义:
从几何上看,如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。
那么定积分表示由直线(),和曲线所围成的曲边梯形的面积。
仔细研读定积分的几何意义,回答右面的问题
x
o
y
b
a
若在区间上,函数时,曲边梯形落在轴的下方,此时还等于曲边梯形的面积吗?
(不等于。
应该是其面积的相反数,即)
当在区间上有正有负时,定积分表示的应该是什么?
O
A1
A2
A3
A4
(表示介于轴,函数的图像及直线之间各部分面积的代数和。
(在轴上方的取正,在轴下方的取负))
与在几何意义上是否相同?
情境三:
学生探究:
由定积分的定义及几何意义,你能否总结出求定积分的方法步骤?
①分割:
等分区间;
②近似代替:
取点;
③求和:
;
④取极限:
例1:
利用定积分的定义,计算的值。
(参考公式:
)
例2:
说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值:
(1);
(2);
(3)
【课堂练习】:
利用定积分的定义求由围成的平面区域的面积。
情境四:
再探究:
通过对例题的研究,试着自己得出定积分的基本性质
性质1:
(其中k是不为0的常数)
性质2:
(以上两性质为定积分的线性性质)
性质3:
()(定积分对积分区间的可加性)
例3:
利用定积分的性质求下列定积分:
(1)
(2)已知,求在上的定积分。
变式练习:
求直线和曲线所围成的平面区域的面积。
思考?
如何求奇、偶函数在区间上的定积分?
习题设计:
1.由y=sinx,x=0,x=,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是(知识点1,易)
2.定积分的大小()(知识点1,易)
A与和积分区间有关,与的取法无关B与有关,与区间及的取法无关
C与和的取法有关,与积分区间无关D与、区间和的取法都有关
3.定积分(c为常数)的几何意义是(知识点2,易)
4.下列等式成立的个数是()(知识点3,中)
①②
③④
A、1B、2C、3D、4
5.计算下列定积分
(1)
(2)(3)(知识点3,难)
3
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