一元一次方程应用题分类讲解Word文档格式.docx

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③时间=。

可寻找的相等关系有：

路程关系、时间关系、速度关系。

在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。

如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。

航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；

②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：

顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

例１．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。

问往返共需多少时间？

讲评：

这一问题实际上分为两个过程：

①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；

②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。

在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；

追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。

由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：

3x－1.5x=450∴x=300

在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：

3y+1.5y=450∴y=100

故往返共需的时间为x+y=300+100=400（秒）

例2汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：

若每小时行驶45km，就可以早到半小时。

求A、B两地的距离。

先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。

在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。

本题中，设A、B两地的路程为xkm，速度为40km/小时，则时间为小时；

速度为45km/小时，则时间为小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有

－=1∴　x=360

　　例3一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2km。

求甲、乙两地之间的距离。

设甲、乙两地之间的距离为xkm，则顺流速度为km/小时，逆流速度为km/小时，由航行问题中的重要等量关系有：

－２=+2∴x=96

　　2.工程问题

工程问题的基本量有：

工作量、工作效率、工作时间。

①工作量=工作效率×

工作时间。

②工作时间=，③工作效率=。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。

常见的相等关系有两种：

①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。

②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。

在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

例4．加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。

问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙需工作x天，则甲再继续加工（12－x）天，乙完成的工作量为，甲完成的工作量为，依题意有+=1∴x=8

例5．收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。

收割了后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。

因此比预计时间提前1小时完工。

求这块麦地有多少亩？

设麦地有x亩，即总工作量为x亩，改用新式工具前工作效率为4亩/小时，割完x亩预计时间为小时，收割亩工作时间为/4=小时；

改用新式工具后，工作效率为1.5×

4=6亩/小时，割完剩下亩时间为/6=小时，则实际用的时间为（+）小时，依题意“比预计时间提前1小时完工”有

－（+）=1∴x=36

例6.一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。

现在三管齐开，需多少时间注满水池？

讲评：

由题设可知，甲、乙、丙工作效率分别为、、－（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设ｘ小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为，、－，由三水管完成整体工作量1，有+－＝1∴　x=5

　　3．经济问题

与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。

经济类问题主要体现为三大类：

①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。

这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。

⑴销售利润问题。

利润问题中有四个基本量：

成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

基本关系式有：

①利润=销售价（收入）－成本（进价）

【成本（进价）=销售价（收入）－利润】；

②利润率=【利润=成本（进价）×

利润率】。

在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×

折扣率。

打折问题中常以进价不变作相等关系。

⑵优惠（促销）问题。

日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。

这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。

并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。

⑶存贷问题。

存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。

存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。

其关系式有：

①利息=本金×

利率×

期数；

②利息税=利息×

税率；

③本息和（本利）=本金+利息－利息税。

例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。

如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？

设销售价每件x元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×

10+40×

12.5），利润率为12％，利润为（5×

12.5）×

12％。

由关系式①有

（10+40）x－（5×

12.5）=（5×

12％∴x=14.56

例8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。

问这种商品的定价是多少？

设定价为x元，七五折售价为75％x，利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；

九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。

由进价一定，有

75％x+25=90％x－20∴x=300

例9.李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。

整存整取，年利息为2.16％。

取款时扣除20％利息税。

李勇同学共得到本利504.32元。

问半年前李勇同学共存入多少元？

本题中要求的未知数是本金。

设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×

2.16％x，利息税为20％×

0.5×

2.16％x，由存贷问题中关系式③有x+0.5×

2.16％x－20％×

2.16％x=504.32∴x=500

例10.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？

购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。

设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有

200+80％x=x∴x=1000

当x＞1000时，如x=2000买卡消费的花费为：

200+80％×

2000=1800（元）

不买卡花费为：

2000（元）此时买卡购物合算。

当x＜1000时，如x=800买卡消费的花费为：

800=840（元）

800（元）此时买卡不合算。

4.溶液（混合物）问题

溶液（混合物）问题有四个基本量：

溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。

其关系式为：

①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；

②浓度=×

100％=×

100％【纯度（含量）=×

100％】；

③由①②可得到：

溶质=浓度×

溶液=浓度×

（溶质+溶剂）。

在溶液问题中关键量是“溶质”：

“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。

例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，某同学未经考虑先加了300克水。

⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？

⑵如果加水不过量，则应加入浓度为20％的酒精多少克？

如果加水过量，则需再加入浓度为95％的酒精多少克？

溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高）两种情况。

在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进行分析，就不难找到相等关系，从而列出方程。

本题中，⑴加水前，原溶液1000克，浓度为80％，溶质（纯酒精）为1000×

80％克；

设加x克水后，浓度为60％，此时溶液变为（1000+x）克，则溶质（纯酒精）为（1000+x）×

60％克。

由加水前后溶质未变，有（1000+x）×

60％=1000×

80％

∴x=＞300∴该同学加水未过量。

⑵设应加入浓度为20％的酒精y克，此时总溶液为（1000+300+y）克，浓度为60％，溶质（纯酒精）为（1000+300+y）×

60％；

原两种溶液的浓度分别为1000×

80％、20％y，由混合前后溶质量不变，有（1000+300+y）×

80％+20％∴y=50

5.数字问题

数字问题是常见的数学问题。

一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：

任何数=∑（数位上的数字×

位权），如两位数=10a+b；

三位数=100a+10b+c。

在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。

例12.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。

求这个数。

设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x