八年级数学上册知识点总结北师大版Word格式文档下载.docx
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b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;
c.确定形状
第二章实数
1.无理数的引入。
无理数的定义无限不循环小数。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等根号a(a为非完全平方数或非立方数)。
(2)有特定意义的数,如圆周率π(π=3.14159265…),或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…;
0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1等;
(4)某些三角函数值,如sin60o等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;
若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算.注意:
(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;
(2)要求记忆:
.
三、平方根、算数平方根和立方根
1.平方根和算术平方根:
(1)概念:
如果,那么是的平方根,记作:
;
读作“正、负根号”,
其中叫做的算术平方根,读作根号。
(2)性质:
①当≥0时,≥0;
当<0时,无意义;
②=;
③。
(区分②、③)
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
零的平方根是零;
负数没有平方根。
(3)开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意:
的双重非负性:
2.立方根:
若,那么是的立方根(或三次方根),记作:
①;
②;
③=
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零。
注意:
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
区分:
平方根、立方根的性质
根源:
开平方是平方的逆运算;
开立方是立方的逆运算。
正数和负数的平方后为正,所以,只有非
负数才可以开平方,因此一个非0正数开平方后有2个;
而任何数的立方后的符号与原数的
符号一致,所以,任何数都可以开立方,一个数开立方后只有1个,符号与原数的符号也一
致。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;
数轴上的两个点所表示的数,右
边的总比左边的大;
两个负数,绝对值大的反而小。
在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表
示的数大。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:
①设,则
②设,则。
③同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
比较与;
与
(6)倒数法:
设,则;
设,则
规律:
同号取倒(数)反向
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;
被开方数必须是非负数,即:
。
2、性质:
(1)非负性
(2)(中前提,被开方数)
(3)(中隐含被开方数)
(4);
()(前提根号要有意义)
(5);
()(前提式子和根号要有意义,)
拓展:
三个重要非负数:
.注意:
非负数之和为0它们都是0.
3、运算结果若含有“”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:
加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
(4)与实数有关的概念:
在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;
在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;
反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此,数轴正好可以被实数填满。
第三章位置的确定
一、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;
铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;
x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;
建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间
有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,
当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
(1)、各象限内点的坐标的特征
(结合图形,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数在坐标轴的正向为正,负向为负)
点在第一象限
点在第二象限
点在第三象限
点在第四象限
(2)、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点
(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
①点P与点关于x轴对称(上下)横坐标相等,纵坐标互为相反数,
即点P(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)
②点P与点关于y轴对称(左右)纵坐标相等,横坐标互为相反数,
即点P(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)
③点P与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,
即点P(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)
关于谁对称谁不变,另一个变相反;
关于原点对称,两个分别变相反。
(6)、点到坐标轴及原点的距离(结合图形理解)
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于(由勾股定理可得)
三、坐标变化与图形变化的规律:
坐标(x,y)的变化
图形的变化
x×
a或y×
a
被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍
a,y×
放大(缩小)为原来的a倍
(-1)或y×
(-1)
关于y轴或x轴对称
(-1),y×
关于原点成中心对称
或,其中
沿x轴()左(+)右或y轴(+)上()下平移a个单位
,,其中
沿x轴()左(+)右平移a个单位,再沿y轴(+)上()下平移a个单
第四章一次函数
一、函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(偶次根式)(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数中的b=0时(即)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
①、一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;
正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
②、由于一次函数的图象是一条直线,所以一次函数的图象也称为直线。
③、由于两点确定一条直线,因此在画一次函数的图象时,只要描出:
与轴的交点(令,求出),与轴的交点(令,求出),即(两点即可,画正比例函数的图象时,只要描出点(0,0),(1,)即可。
④、的正负决定直线的倾斜
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