高中常见数列的公式及经典例题.doc
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高中常见数列的公式及经典例题等差数列
1.等差数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即-=d,(n≥2,n∈N),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)
2.等差数列的通项公式:
或=pn+q(p、q是常数))
3.有几种方法可以计算公差d
①d=-②d=③d=
4.等差中项:
成等差数列
5.等差数列的性质:
m+n=p+q(m,n,p,q∈N)
等差数列前n项和公式
6.等差数列的前项和公式
(1)
(2)(3),当d≠0,是一个常数项为零的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)利用:
当>0,d<0,前n项和有最大值可由≥0,且≤0,求得n的值
当<0,d>0,前n项和有最小值可由≤0,且≥0,求得n的值
(2)利用:
由二次函数配方法求得最值时n的值
等比数列
1.等比数列:
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:
=q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
,
3.{}成等比数列=q(,q≠0)“≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件
4.既是等差又是等比数列的数列:
非零常数列.
5.等比中项:
G为a与b的等比中项.即G=±(a,b同号).
6.性质:
若m+n=p+q,
7.判断等比数列的方法:
定义法,中项法,通项公式法
8.等比数列的增减性:
当q>1,>0或0 当q>1,<0,或0 当q=1时,{}是常数列; 当q<0时,{}是摆动数列; 等比数列前n项和 等比数列的前n项和公式: ∴当时,①或② 当q=1时, 当已知,q,n时用公式①;当已知,q,时,用公式②. 数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例1.等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式. 解: 设数列公差为 ∵成等比数列,∴, 即 ∵,∴………………………………① ∵∴…………② 由①②得: , ∴ 点评: 利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。 例2.已知数列的前项和满足.求数列的通项公式。 解: 由 当时,有 ……, 经验证也满足上式,所以 点评: 利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并. 三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1递推公式为 解法: 把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。 (2004全国卷I.22)已知数列中,,其中……,求数列的通项公式。 P24(styyj) 例3.已知数列满足,,求。 解: 由条件知: 分别令,代入上式得个等式累加之,即 所以 , 类型2 (1)递推公式为 解法: 把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 (2004全国卷I.15)已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项 P24(styyj) 例4.已知数列满足,,求。 解: 由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即 又, (2).由和确定的递推数列的通项可如下求得: 由已知递推式有,,,依次向前代入,得 , 简记为,这就是叠(迭)代法的基本模式。 (3)递推式: 解法: 只需构造数列,消去带来的差异. 例5.设数列: ,求. 解: 设,将代入递推式,得 …(1)则,又,故代入(1)得 说明: (1)若为的二次式,则可设; (2)本题也可由,()两式相减得转化为求之. 例6.已知,,求。 解: 。 类型3递推公式为(其中p,q均为常数,)。 解法: 把原递推公式转化为: ,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。 (2006.重庆.14)在数列中,若,则该数列的通项P24(styyj) 例7.已知数列中,,,求. 解: 设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以. 类型4递推公式为(其中p,q均为常数,)。 (或,其中p,q,r均为常数) (2006全国I.22)(本小题满分12分) 设数列的前项的和, (Ⅰ)求首项与通项;P25(styyj) 解法: 该类型较类型3要复杂一些。 一般地,要先在原递推公式两边同除以,得: 引入辅助数列(其中),得: 再应用类型3的方法解决。 例8.已知数列中,,,求。 解: 在两边乘以得: 令,则,应用例7解法得: 所以 类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。 解法: 先把原递推公式转化为 其中s,t满足,再应用前面类型3的方法求解。 (2006.福建.理.22)(本小题满分14分) 已知数列满足 (I)求数列的通项公式;P26(styyj) 例9.已知数列中,,,,求。 解: 由可转化为 即或 这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之, 即 又,所以。 类型6递推公式为与的关系式。 (或) 解法: 利用进行求解。 (2006.陕西.20)(本小题满分12分) 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项anP24(styyj) 例10.已知数列前n项和. (1)求与的关系; (2)求通项公式. 解: (1)由得: 于是 所以. (2)应用类型4的方法,上式两边同乘以得: 由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以 类型7双数列型 解法: 根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例11.已知数列中,;数列中,。 当时,,,求,. 解: 因 所以 即………………………………………… (1) 又因为 所以…… .即……………………… (2) 由 (1)、 (2)得: , 四、待定系数法(构造法) 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。 通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。 1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。 一般地,形如a=pa+q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法: 设a+k=p(a+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=,从而得等比数列{a+k}。 例12、数列{a}满足a=1,a=a+1(n≥2),求数列{a}的通项公式。 解: 由a=a+1(n≥2)得a-2=(a-2),而a-2=1-2=-1, ∴数列{a-2}是以为公比,-1为首项的等比数列 ∴a-2=-()∴a=2-() 说明: 这个题目通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{a-2},从而达到解决问题的目的。 例13、数列{a}满足a=1,,求数列{a}的通项公式。 解: 由得 设a,比较系数得解得 ∴{}是以为公比,以为首项的等比数列 ∴ 例14.已知数列满足,且,求. 解: 设,则, 是以为首项,以3为公比的等比数列 点评: 求递推式形如(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型. 例15.已知数列满足,,求. 解: 将两边同除,得 设,则.令 .条件可化成,数列是以为首项,为公比的等比数列..因, . 点评: 递推式为(p、q为常数)时,可同除,得 ,令从而化归为(p、q为常数)型. 2、通过分解系数,可转化为特殊数列的形式求解。 这种方法适用于型的递推式,通过对系数p的分解,可得等比数列: 设,比较系数得,可解得。 (2006.福建.文.22)(本小题满分14分)已知数列满足 (I)证明: 数列是等比数列; (II)求数列的通项公式; 例16、数列满足=0,求数列{a}的通项公式。 分析: 递推式中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项的系数分解成1和2,适当组合,可发现一个等比数列。 解: 由得 即,且 ∴是以2为公比,3为首项的等比数列 ∴ 利用逐差法可得 = = = = ∴ 例17、数列中,,求数列的通项公式。 解: 由得设 比较系数得,解得或 若取,则有 ∴是以为公比,以为首项的等比数列 ∴ 由逐差法可得 = == 说明: 若本题中取,则有即得 为常数列, 故可转化为例13。 例18.已知数列满足,,求. 解: 设 或 则条件可以化为是以首项为,公比为的等比数列,所以.问题转化为利用累加法求数列的通项的问题,解得. 点评: 递推式为(p、q为常数)时,可以设,其待定常数s、t由,求出,从而化归为上述已知题型. 五、特征根法 1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。 作出一个方程则当时,为常数列,即,其中是以为公比的等比数列,即. 例19.已知数列满足: 求 解: 作方程 当时, 数列是以为公比的等比数列.于是 2、对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。 例20: 已知数列满足,求数列的通项公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由,得 , 且。 则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是 。 把代入,得 , , , 。 把以上各式相加,得 。 。 解法二(特征根法): 数列: ,的特征方程是: 。 。 又由,于是 故 3、如果数列满足下列条件: 已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。 (2006.重庆.文.22).(本小题满分12分) 数列求数列的通项公式. 解: 由已知,得,其特征方程为,解之,得 , , 。 P26(styyj) 例21、已知数列满足性质: 对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第 (2)部分,则有 ∴ ∴ 即 例22.已知数列满足: 对于都有 (1)若求 (2)若求(3)若求0时,{}是递减数列;
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