完整版高数大一上学期知识要点Word文档格式.docx
- 文档编号:13765196
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:174.75KB
完整版高数大一上学期知识要点Word文档格式.docx
《完整版高数大一上学期知识要点Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版高数大一上学期知识要点Word文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
且lim—存在,贝H
limlim——limlim
(因式替换原则)
常用等价无穷小:
sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜x,arctanx〜x,
1cosx〜*x2,ex1〜x,1x1〜x,ln1x〜x,
ax1〜xlna,x0
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则;
1准则1(夹逼准则)若数列xn,yn,Zn(n=1,2,…)满足下列条件:
(1)ynxnzn(n1,2,3,L);
(2)limynlimZna,
nn
则数列xn的极限存在,且limXna.
n
2准则II:
单调有界数列必有极限•
4、利用两个重要极限。
sinx丄1
lim1lim(1x)xelim(1-)xe
x0xx0xx
5、利用洛必达法则。
0cc
未定式为6,—,,0,0类型.
①定理(x
⑴limf(x)limF(x)0;
xaxa'
o
⑵在某U(a,)内,f(x)及F(x)都存在且F(x)0;
(3)xma4xy存在(或为无穷大)
()・00,0—8、0°
r.00°
型
二、求导数和微分:
1.定义
1导数:
函数yf(x)在xXo处的导数:
f(x)f(Xo)「f(Xox)f(Xo)
f(x0)lim—lim-—.
xxoxx0x0x
函数yf(x)在区间i上的导函数:
f(x)limf(xx)f(x)dy.
x0xdx
2函数的微分:
dyf(x)dx.
2.导数运算法则(须记住P140导数公式)
①函数和差积商求导法则:
函数u(x)、v(x)可导,则:
(u(x)v(x))u(x)v(x)
(u(x)v(x))u(x)v(x)u(x)v(x).
(v(x)0)
uvuv
2v
②反函数求导法则:
若x(y)的导数存在且(y)0,
则反函数y
f(x)的导数也存在且为
f(x)
1
(y)
f(u)可导,
③复合函数求导法则(链式法则):
u(x)可导,y
则yf((x))可导,且
dydydu
■
dxdudx
4隐函数求导法则:
v)=0
两边对*求导
八
—V)=0(含导数『的方程)dx
5参数方程求导法则
x
(t),
y
(t)
dy
若
(t)0则
dx
(t).
d2y
d(字)dx
d(-
⑴)
(t)1
dx2
dtdx
dt
3.微分运算法则
1设n(x),v(x)均可微,则
Ld側士卩)=血士dv2.d(Cn)=Cdzi(C为常数)
3.d(?
7v)=vd?
/+udv4*d(厂)—_(卩工0)
2眞合函数的微分(微分形式不变性)
三、求积分:
1.概念:
原函数、不定积分。
定积分是一个数,是一个和的极限形式
bn
f(x)dxlimf(JXi
ai1
aab
性质1:
af(x)dx0,bf(x)dxaf(x)dx
bbb
性质2:
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
aaa
性质3:
b
kf(x)dx
a
kf(x)dx,
(k是常数).
性质
4:
f(x)dx
c
f(x)dx
f(x)dx(去绝对值,分段函c
数积分)
性质5:
dxba
2.计算公式:
P186基本积分表;
P203常用积分公式;
1第一换元法(凑微分):
u(x)
f((x))(x)dxf((x))d(x)f(u)du
(8)
darccosx,
常用的几种凑微分形式:
(1)J/(OT+6)dr-^ff(ax-hb)d(ax+b)⑵(/匕5"
—1山=打/(旳血
(3)打(jg心打/X)士血"
⑷J/Ginx)cosxdx-Jy(sinx)dsin戈
(5)ff(cosx)sinxdx--Jf(cosx)dcos
(6)J/(tanx)sec2^dx=j/(tanx)dtanxj/(lnx)^dx二jy(lnx)dl
A
——dxdarcsinx
“x2
第二类换元常见类型
(三角,倒代换,根式,指数,万能,双曲}:
(1)
根式代换
J/(x,刃ax+b)dx>
令t=^ax+b]
(2)”S,倚)如令&
勺宀
)dx:
令工二Qsin*或兀二口cosr
⑶J/gJo?
—
⑷J/(X?
VP+x2)dx,令X=ntan?
三角代换
(5)j/(x5Vx2-a2)dx令兀二asect
(6)J/(^x)dv5令『-/指数代换
(7)分母次数较高,倒代换
第二换元涉及的重要恒等式
sin11十cos2/=1,sec21-tan2r=lfchJt-sh21-1
3分部积分法:
3.u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx
udvuvvdu(反对幕指三”,前u,后v)
分部化简循环解出;
递推公式
4有理函数积分:
假分式多项式除法多项式屮真分式I
分解
若干部分分式之和
混合法(赋值法+特殊值法)确定系数
闊种典型部分分式的积分:
1.[dr=Ainx-a\i-C
JX
2.fAdx=T^-(x-+c(并Hl)\x-ay1"
分子二★声分母的导数十怠变分子为
Cp:
—4^<
0>
1)
5牛顿莱布尼茨公式:
4.bf(x)dxF(b)F(a)[F(x)];
(其中F(x)f(x))
6定积分换元法:
5.af(x)dxf((t))(t)dt(a=()b=())
(换元换限,配元(凑微)不换限)bbb
7定积分分部积分法:
6u(x)v(x)dxu(x)v(x)aau(x)v(x)dx
⑧结论(偶倍奇零):
aa
①若函数f(x)为偶函数,则af(x)dx2of(x)dx。
ao
②若函数f(x)为奇函数,则af(x)dx0a
1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算;
2
2.定积分几何意义求一些特殊的积分(如a2x2dx)
04
⑨变限积分求导
总J"
)吩金),令
¥
严)八)df二
=/[00)00)-/[皿)]”(巧dxJ严CO
四、微分和积分的应用
1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形
1判断单调性:
第一步:
找使f(x)0的点和不可导点。
第二步:
以驻点和不可导点划分单调区间,在每个区间上讨论f(x)的正
负,f(x)0,函数递增,f(x)0,
函数递减。
2判断凹凸性:
找使f(x)0的点和不可导点。
以这些点划分定义区间,在每个区间上讨论f(x)的正负,
f(x)0,是凹区间,f(X)0,是凸区间。
(拐点:
左右两边f(x)的符号相反)
3判断函数极值:
判断这些点两边f(x)的正负,若左正右负极大值点左负右正极小值点。
2.1定积分的几何应用---求面积,体积和弧长
y=f上(x)
二
*
bx
所求图形的面积为:
Sa[f上*
f下(x)]dx
ydye
右(y)
左(y)]dy
d
e
旋转体:
由连续曲线yf(x)、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。
d2
V[(y)]2dy
平面图形的面积
广直角坐标方程A^^f(x)dx
方程<
参数方程A=jf:
y(t)xXt)at
、极坐标方程厶
平面曲线的弧长
弧微分:
办=她卄(d卅
(直角坐标方程(k=Jl十严必
曲线方程V参数方程方程
极坐标方程
己知平行截面面面枳函数的立体体枳
A(x)=7ry2(x)
绕了轴:
A{x)=17rxy(柱壳法)
X=Ay)绕F轴:
=
2.3定积分的物理应用
变力沿直线做功;
水(侧)压力;
引力
思路:
建立坐标系,选取积分变量(如X),在[X,x+dx]上给出微元
第六空间解析几何
rrrr
1.向量a3xi3yj3zk在坐标轴上的投影分别为:
ax,ay,az;
在坐标轴上
rrr
的分量分别为:
axi,ayj,azk。
r
|a|Jax2ay2az2ea阜(cos,cos,cos)
|a|
2.利用坐标作向量的线性运算
向量积(向量)
ra
且
rbrkazdrbr-J色arariaxdrarbrbrara
|ab||a||b|sin(a,b)(几何意义:
平行四边形的面积)
3.向量之间的关系
z
V
X
arbra
rra//b
ax
ay
鱼(
bx
by
bz
ijk
axayaz0)
bxbybz
4.平面图形及其方程
平面的法向量:
和平面垂直的非零向量
1点法式方程:
设平面过点M0(xo,yo,Zo)法向量n(A,B,C)(其中A,B,C不全为o),则平面的方程为
A(xxo)B(yyo)C(zZo)0
2一般方程:
AxByCzDo
[当D=o时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;
当A=0时,By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面;
Ax
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 大一 上学 知识 要点