全等三角形证明经典题含标准答案文档格式.docx
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∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
3.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
4.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
5.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°
,求证:
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF(SAS)
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°
,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE,CE平分∠BCD,CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
7.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
设线段AB,CD所在的直线交于E,则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
8.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB
在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
9.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
延长BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE
∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE
∴AC–AB=FC,FB=2BE
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABE+∠FBC=3∠C
∴∠AFB+∠FBC=3∠C
∵∠AFB=∠C+∠FBC
∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C
∴∠FBC=2∠C
即∠FBC=∠C
∴FB=FC
∴AC-AB=FB=2BE
10.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
11.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
∵OM平分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM(AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON(SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
12.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°
,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
13.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
延长AC到E
使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
14.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
16、如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
△AED≌△BFC。
∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
17.如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
AM是△ABC的中线。
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
18.如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
19.AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
20.如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
在△BEM和△CFM中
BE=CF
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
22.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:
△ABE≌△CDF(SAS)
23.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
连接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;
两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
24.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
25.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌
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