完整word二次函数与相似三角形问题含答案推荐文档Word下载.docx
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(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四边形?
并证明你的结论;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.
练习1、已知抛物线经过及原点.
(1)求抛物线的解析式.(由一般式得抛物线的解析式为)
(2)过点作平行于轴的直线交轴于点,在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上,任取一点,过点作直线平行于轴交轴于点,交直线于点,直线与直线及两坐标轴围成矩形.是否存在点,使得与相似?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由.
(3)如果符合
(2)中的点在轴的上方,连结,矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系?
为什么?
练习2、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处。
已知折叠,且。
(1)判断与是否相似?
请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?
如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;
如果不存在,请说明理由。
练习3、在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,其顶点的横坐标为1,且过点和.
(1)求此二次函数的表达式;
(由一般式得抛物线的解析式为)
(2)若直线与线段交于点(不与点重合),则是否存在这样的直线,使得以为顶点的三角形与相似?
若存在,求出该直线的函数表达式及点的坐标;
若不存在,请说明理由;
O
y
C
x
B
A
练习3图
练习4图
P
(3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角与的大小(不必证明),并写出此时点的横坐标的取值范围.
练习4、如图所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;
否则,请说明理由.
练习5、已知:
如图,在平面直角坐标系中,是直角三角形,,点的坐标分别为,,.
(1)求过点的直线的函数表达式;
点,,,
(2)在轴上找一点,连接,使得与相似(不包括全等),并求点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,如分别是和上的动点,连接,设,问是否存在这样的使得与相似,如存在,请求出的值;
如不存在,请说明理由.
练习6、如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;
如果不相似,请说明理由。
练习7、如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:
点C的坐标是__,b=__,c=__;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?
若存在,求出所有t的值;
练习8、如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
练习9、已知,如图1,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线交轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点、,连接.
(1)求点的坐标;
(2)求证:
;
(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点,过点作交轴于点,是否存在点使得与相似?
若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;
若不存在,请说明理由.
练习10、当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.
(1)求该抛物线的关系式;
(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;
(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:
是否存在△DEF与△AOC相似?
若存在,求出点E的坐标;
若不存在,则说明理由.
练习11、如图,一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B.
(1)写出点B的坐标;
(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,则点P的坐标为.
练习12、如图,抛物线与轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?
若存在,则求出点M的坐标;
练习13、已知:
函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
(1)求这个函数关系式;
(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在
(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;
若不在,请说明理由.
练习14、如图,设抛物线C1:
C2:
C1与C2的交点为A,B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.
(1)求的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点M的直线为,且与x轴交于点N.
①若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2),求点N的横坐标;
②若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
练习15、如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。
(1)当时,折痕EF的长为;
当点E与点A重合时,折痕EF的长为;
(2)请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围,并求出当时菱形的边长;
(3)令,当点E在AD、点F在BC上时,写出与的函数关系式。
当取最大值时,判断与是否相似?
若相似,求出的值;
若不相似,请说明理由。
练习16、如图,已知,,现以A点为位似中心,相似比为9:
4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C.
(1)求C点坐标及直线BC的解析式;
(2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
参考答案
例题、解:
⑴由题意可设抛物线的解析式为
∵抛物线过原点,
∴
∴.
抛物线的解析式为,即
⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,
由得,
∴B(4,0),OB=4.
∴D点的横坐标为6
将x=6代入,得y=-3,
∴D(6,-3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(-2,-3),
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
⑶如图2,由抛物线的对称性可知:
AO=AB,∠AOB=∠ABO.
若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1)
∴直线OP的解析式为
由,
得
.∴P(6,-3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3,
∴PB=≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
练习1、解:
(1)由已知可得:
解之得,.
因而得,抛物线的解析式为:
.
(2)存在.
设点的坐标为,则,
要使,则有,即
解之得,.
当时,,即为点,所以得
解之得,,当时,即为点,
当时,,所以得.
故存在两个点使得与相似.
点的坐标为.
(3)在中,因为.所以.
当点的坐标为时,.
所以.
因此,都是直角三角形.
又在中,因为.所以.
即有.
所以,
又因为,
练习2
解:
(1)与相似。
理由如下:
由折叠知,,
,
又,
。
(2),设AE=3t,
则AD=4t。
图2
E
D
M
G
l
N
F
由勾股定理得DE=5t。
由
(1),得,
在中,,
,解得t=1。
OC=8,AE=3,点C的坐标为(0,8),
点E的坐标为(10,3),
设直线CE的解析式为y=kx+b,
解得
,则点P的坐标为(16,0)。
(3)满足条件的直线l有2条:
y=-2x+12,
y=2x-12。
如图2:
准确画出两条直线。
练习3
(1)二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点和,
由解得
此二次函数的表达式为.
(2)假设存在直线与线段交于点
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