泛函分析中的概念和命题Word格式.docx
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设是实线性空间,是定义在上的次可加正齐性泛函,是的线性子空间,是定义在上的实线性泛函且满足,则必存在一个定义在上的实线性泛函,且满足:
1.
2.
复Hahn-Banach泛函定理:
设是复线性空间,是定义在上的次可加对称泛函,是的线性子空间,是定义在上的线性泛函且满足,则必存在一个定义在上的线性泛函,且满足:
定理:
设是线性空间,若,则在上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach延拓定理:
设是赋范线性空间,是的线性子空间,是定义在上的有界线性泛函,则必存在一个定义在上的有界线性泛函,满足:
设是赋范线性空间,是的线性子空间,则必有
,满足:
(1)
设是赋范空间,
凸集分离定理
极大线性子空间:
一个线性空间的子空间,真包含它的线性空间是全空间
超平面:
它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移,也称极大线性流形
承托超平面:
承托超平面
Minkowski泛函:
取值于的函数:
与对应,称函数为的Minkowski泛函
是赋范空间的(闭)超平面存在上的非零(连续)线性泛函及
Hahn-Banach定理的几何形式:
设是赋范空间,是的具有内点的真凸子集,又设
设是赋范空间,则
Ascoli定理:
设是赋范空间,是的真闭凸子集,则适合
Mazur定理:
设是赋范空间,是的一个有内点的凸子集,是的一个线性流形,又设
设是赋范空间,是的一个含有内点的闭凸集,则通过的每个边界点都可以作出的一个承托超平面
基本定理
开映射定理:
Banach逆算子定理:
等价范数定理:
设是线性空间,和是上的两个范数,若关于这两个范数都成为Banach空间,而且强于,则也强于,从而和等价
闭算子:
若的图像是赋范线性空间中的闭集,则称是闭映射或闭算子
闭算子判别定理:
若
闭图像定理:
,而且是闭算子,若
是的闭线性子空间,则是连续的
,则连续是闭算子
共鸣定理:
是赋范空间,如果,都有
自反空间与共轭算子
除声明外下面的都是一般的赋范线性空间
共轭空间:
伴随算子:
3.
4.
若;
是Banach空间,
自反空间的闭线性子空间是自反空间
自然嵌入映射是赋范空间到的保范的有界线性算子,即:
Riesz表示定理:
设X是局部紧空间,
(1)若上的正线性泛函,则存在X上一个正则Borel测度u,使得对任都有
(2)若,则存在X上一个广义正则Borel测度u,使
(3)若是X上具有紧支集的复连续函数空间,则对上任一有界复线性泛函,存在复正则Borel测度u,使
弱收敛和弱列紧
基本概念:
弱收敛;
算子列的一致收敛,强收敛,弱收敛;
泛函列的*弱收敛;
弱列紧;
局部弱列紧;
*弱列紧;
局部*弱列紧
设
1.
2.
设则存在由的凸组合构成的点列使其强收敛到,且
可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的;
自反空间是局部弱列紧的
HilbertSpace
除声明外下面所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX
内积:
一个(数域K上)线性空间上的内积指的是共轭双线性泛函:
,它满足正定性和共轭对称性。
内积空间:
定义了内积的线性空间。
定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。
内积导出的范数满足平行四边形公式。
内积(按内积导出的范数)是上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的,这样的内积空间称为Hilbert空间
设是内积空间,是由内积导出的范数,则与满足如下关系:
当是实线性空间时,
当是复线性空间时,
极化恒等式:
,
为了在赋范线性空间中引入内积,使得由导出的范数就是,当且仅当满足平行四边形公式:
设是内积空间,是的非空子集,,则
1.2.
3.4.
5.6.
设是希尔伯特空间,是的非空闭凸子集,则,使得
正交分解定理:
设是希尔伯特空间的一个闭线性子空间,,存在唯一的正交分解:
设是希尔伯特空间,是的线性子空间,则:
1.2.
假定是,那么有Parseval不等式:
是,有Fourier展开式和Parseval等式:
,
其中:
。
是,有:
标准正交系完备
;
实(复)有穷维可分Hilbert空间都与Hilbert空间同构
设是希尔伯特空间,是上的连续线性泛函,则必有唯一的
,使得:
有界双线性泛函:
,A被唯一确定
Hermite双线性泛函:
命题:
HilbertSpace中的算子
常见算子(除声明外下面所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX)
0.正规算子:
酉算子:
等距满射算子。
自伴算子:
;
2.当考虑复空间时,有结论:
设
设A是自伴算子,则它的特征值是实数,且不同的特征值对应的特征向量正交
设A是自伴算子,则.
设A是自伴算子,则
3.设为自伴算子,
(当考虑复空间时,自伴算子的条件可去掉,极化恒等式)
设A是正算子,则也是正算子,其中n是正整数;
且有性质:
设为一致有界的单调自伴算子列,则存在唯一的自伴算子A,使强收敛到A
设A是正算子,则存在唯一的正算子S,使,称S为A的正平方根,记为;
是A的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限,与A可换的算子必与可换.
设A是正算子,
设自伴算子
4.是投影算子是自共轭算子,
,则:
此时的投影子空间是在中的正交余空间
设是Hilbert空间上的对称紧算子,则必有使得:
设是Hilbert空间上的对称紧算子,则有至多可数个非零的,只可能以0为聚点的实数,它们是算子的本征值,并对应一组正交规范基(不一定可数),使得:
线性算子的谱
概念:
正则值,点谱,连续谱,剩余谱,预解式,谱半径,
设,则
2.;
3.
4.
5.
紧算子
是紧算子
Fredholm结论:
是紧算子,令,则是闭值域算子,且:
紧算子的谱:
是紧算子,则:
1.;
2.;
3.;
Fredholm算子
定义:
称为一个Fredholm算子,是指
是一个Fredholm算子,令
,并称其为的指标
若和紧算子
,又有,以及紧算子和紧算子,使得
上面两个定理中
设,则有:
若且时,有
参考书目:
泛函分析讲义(上册)张恭庆,林源渠
实变函数与泛函分析概要(下册)郑维行,王声望
实变函数与泛函分析(下册)薛昌兴
巴拿赫空间引论定光桂
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- 分析 中的 概念 命题