大一高数复习资料Word文档下载推荐.docx

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【证明示例】N语言

1．由xna化简得ng，∴Ng

2．即对0，Ng。

当nN时，始终有不等式xna成立，∴limxna

3．由定理可知limfxgx0

（limfxgx0）

【题型示例】已知函数fx，证明limfxA

第三节函数的极限

○xx0时函数极限的证明（★）

第五节极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则

关于多项式px、qx商式的极限运算

mm1

pxa0xa1xam

设：

nn1

qxb0xb1xbn

nmpxa0

nm则有lim

xqxb0

nm0

fx0

gx00

gx0fx

gx00,fx00lim

xx0gx0

gx0fx000

fx0

（特别地，当lim（不定型）时，通常分

xx0gx0

【证明示例】语言

1．由fxA化简得0xx0g，∴g

2．即对0，g，当0xx0时，始终有不等式fxA成立，∴limfxA

○x时函数极限的证明（★）

【证明示例】X语言

1．由fxA化简得xg，∴Xg

2．即对0，Xg，当xX时，始终有不等式fxA成立，∴limfxA

第四节无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）函数fx无穷小limfx0函数fx无穷大limfx

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值lim

x3

x29

【求解示例】解：

因为x3，从而可得x3，所以原

x3x311

limlim

x3x29x3x3x3x3x36

其中x3为函数fx2的可去间断点

x9

式lim

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

2x3

解：

limx2x1

x1

2x12

limx

2x1

2x12

x122x1

2

lim12x1

2x12x1

22

lim12x12x1

2limx1

2x12x1

x3x311

limlim解：

lim2

x3x9Lx3x32x6

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那

00

lim1

2x12x1e

lim

e

2x2

e1e

xflimx么，limfxx0xx0

【题型示例】求值：

lim

第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）

U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln（1U）1．U

~e12．U~1cosU

（乘除可替，加减不行）

ln1xxln1x【题型示例】求值：

lim2x0x3x

【求解示例】

ln1xxln1x解：

因为x0,即x0,所以原式limx0x23x

1xln1xlim1xxlimx11limx0x0xx3x0x3xx33第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）

【求解示例】x3

1

第六节极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：

lim∵x0,

sinx

x0x

1，sinxxtanx∴limx0x2

lim1x1x0

limlim1x0sinxx0sinxsinx

limx0xx

limfxlimfxfx0

○间断点的分类（P67）（★）

跳越间断点（不等）

第一类间断点（左右极限存在）

可去间断点（相等）

第二类间断点

）无穷间断点（极限为

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

sin（xx0）

（特别地，lim1）

xx0xx0

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：

lim1e

（一般地，limfxlimfx0）

gx

limfx

limgx

，其中

e2xx0

【题型示例】设函数fx，应该怎样选

axx0

择数a，使得fx成为在R上的连续函数？

f0e20e1e

1．∵f0a0a

f0a

fxlimfxf0e2．由连续函数定义lim

x0

2x3【题型示例】求值：

∴ae

闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）

【题型示例】证明：

方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在闭区间a,b上连续；

2．∵ab0（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使gC0（01）4．这等式说明方程fxgxC在开区间a,b内至少有一个根第二章导数与微分

第一节导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

得0，即f

【题型示例】求函数f1x的导数

【求解示例】由题可得fx为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且fx0；

∴f

fx○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设ylne【求解示例】

y

，求y

ex1x0

【题型示例】已知函数fx，在x0

x0axb

处可导，求a，b

f0e01e0120

f0e11．∵，f0b

f0e012

eeearcsi

xa

第四节高阶导数○f

n

n1

n1ndydy）（或（★）xnn1dxdx

xf

f0f0a1

2．由函数可导定义

f0f0f0b2

∴a1,b2

【题型示例】求函数yln1x的n阶导数【求解示例】y

11

1x，1x

【题型示例】求yfx在xa处的切线与法线方程（或：

过yfx图像上点a,fa处的切线与法线方程）【求解示例】

1．yfx，y|xafa2．切线方程：

yfafaxa法线方程：

yfa

xafa12

y1x11x，

23

y11x121x

yn

（1）n1（n1）！

（1x）n

第五节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★★★）【题型示例】试求：

方程yxe所给定的曲线C：

y

第二节函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：

（uv）uv特别地，当1时，有（uv）uv2．函数积的求导法则（定理二）：

（uv）uvuv

yyx在点1e,1的切线方程与法线方程

【求解示例】由yxe两边对x求导即yxe∴y

化简得y1e

uuvuv

3．函数商的求导法则（定理三）：

vv

第三节反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

11

1e11e

x1e1e

∴切线方程：

y1

法线方程：

y11ex1e

○参数方程型函数的求导

x0，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区

xtdy

，求2

dxyt

dy

dytd2ydx【求解示例】1.2.2

tdxtdx

【题型示例】设参数方程

；

1x

2．由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式

间0,上可导，并且fx

ln1xln10

化简得ln1x∴f

x0成立，1

第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）dyfxdx

第三章中值定理与导数的应用

第一节中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：

0,，使得f

x，又∵0,x，1

1，∴ln1x1xx，1

即证得：

当x1时，eex

第二节罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）☆

1．等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（

cosfsin0成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令xfxsinx

显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间

0

）且满足条件，0

fxfx

则