届高中数学人教A版 解三角形单元测试Word版含答案19.docx
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届高中数学人教A版解三角形单元测试Word版含答案19
2017-2018学年度xx学校xx月考卷
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.在△ABC中,b=,c=3,B=30°,则a的值为( )
A.
B.2
C.或2
D.2
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2,B=120°,C=30°,则a等于( )
A.2
B.
C.
D.1
3.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是( )
A.a>bsinA
B.a=bsinA
C.a D.a≥bsinA 4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S相距20nmile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) A.nmile/h B.nmile/h C.nmile/h D.nmile/h 5.一艘轮船按照北偏西50°的方向,以15海里/时的速度航行,出发时,一个灯塔B在轮船的北偏东10°方向上.经过40分钟,轮船与灯塔的距离是5海里,则灯塔和轮船最初位置的距离为( ) A.2海里 B.3海里 C.4海里 D.5海里 6.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向航行,进行海面巡逻,当行驶半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若C船位于A处北偏东30°方向上,则缉私艇B与船C的距离是( ) A.5(+)km B.5(-)km C.10(+)km D.10(-)km 7.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cosB等于( ) A.- B. C.- D. 9.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=a,则( ) A.a>b B.a C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 10.在平行四边形ABCD中,对角线AC=,BD=,周长为18,则这个平行四边形的面积为( ) A.16 B. C.18 D.32 11.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,若c2=a2+b2-ab,则角C等于( ) A.60° B.45° C.120° D.30° 12.在△ABC中,已知AB=4,AC=4,∠B=30°,则△ABC的面积是( ) A.4 B.8 C.4或8 D. 二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosA=,b=5,B=,则a=________. 14.一角槽的断面如图所示,四边形ADEB是矩形,若α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,则DE=________mm. 15.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边,若∠A=105°,∠B=45°,b=2,则c=________. 16.△ABC中,AB=5,AC=7,B=120°,则△ABC的面积为________. 三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分) 17.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B,D间距离与另外两点间距离哪个相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,=1.414,≈2.449). 18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 19.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求: (1)A处与D处的距离; (2)灯塔C与D处的距离. 20.已知函数f(x)=m·n,其中m=(1,sin2x),n=(cos2x,),在△ABC中,a,b,c分别是角的对边,且f(A)=1. (1)求f(x)的对称中心; (2)若a=,b+c=3,求△ABC的面积. 21.已知函数f(x)=2sin2(x+)-cos2x,x∈[,].设x=α时,f(x)取到最大值. (1)求f(x)的最大值及α的值; (2)在△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=α-,且sinBsinC=sin2A,求b-c的值. 22.某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40m以后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高. 答案解析 1.【答案】C 【解析】∵sinC=·c=,∴C=120°或C=60°, ∴A=30°或A=90°, 当A=30°时,a=b=; 当A=90°时,a==2.故选C. 2.【答案】A 【解析】由正弦定理得c===2, 又A=180°-B-C=180°-120°-30°=30°,所以a=c=2.故选A. 3.【答案】D 【解析】由正弦定理,得=,∴a=. 又在△ABC中,0 ∴a≥bsinA. 4.【答案】B 【解析】如图所示,在△MNS中, MS=20,∠NMS=45°, ∠SNM=105°,∠MSN=30°, 在△MNS中,由正弦定理, 得=, ∴MN===10(-)(nmile). ∴货轮的速度为nmile/h. 5.【答案】D 【解析】设灯塔和轮船最初位置的距离为x海里, 如图,在△OAB中,OA=15×=10(海里), AB=5海里,∠AOB=60°. 由余弦定理可得(5)2=102+x2-2×10×x×cos60°, 即x2-10x+25=0,∴x=5. 6.【答案】D 【解析】由题意∠BAC=30°,∠ACB=75°,=, ∴BC==10(-)(km). 7.【答案】D 【解析】设等腰三角形ABC的顶角为C,a,b,c分别为角A,B,C的对边.∵l=5c,∴a=b=2c,由余弦定理, 得cosC===. 8.【答案】B 【解析】由正弦定理知 即tanB=,所以B=, 所以cosB=cos=,故选B. 9.【答案】A 【解析】在△ABC中,由余弦定理得, c2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab. ∵c=a,∴2a2=a2+b2+ab. ∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b. 10.【答案】A 【解析】如图所示, 设AB=CD=a,AD=BC=b, 则 即 解得或 ∴cos∠BAD==. ∴sin∠BAD=. ∴SABCD=4×5×=16. 11.【答案】D 【解析】由余弦定理得cosC===, 又∵0° 12.【答案】C 【解析】 13.【答案】8 【解析】由cosA=,得sinA=, 又由正弦定理可得=, ∴a==8. 14.【答案】210 【解析】连接AB,则∠BAC=90°-α=40°,∠ABC=90°-β=20°, ∴∠ACB=180°-40°-20°=120°. ∴AB2=AC2+BC2-2×AC·BC·cos120° =902+1502-2×90×150×(-) =902+1502+90×150=44100, ∴AB=210mm, ∴DE=210mm. 15.【答案】2 【解析】由条件,C=180°-105°-45°=30°. 根据正弦定理=得=,解得c=2. 16.【答案】 【解析】设BC=a,由余弦定理得 a2+52-2a×5×cos120°=72, a2+5a-24=0,a=3, 所以S△ABC=×5×3sin120°=. 17.【答案】解 在△ADC中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以CD=AC=0.1,又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA. 在△ABC中,=, 即AB==, 因此,BD=≈0.33(km). 故B、D的距离约为0.33km. 【解析】 18.【答案】解 (1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC, 故2sinCcosC=sinC.可得cosC=,所以C=. (2)由已知,absinC=,又C=,所以ab=6,由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+. 【解析】 19.【答案】解 (1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°, AB=12,由正弦定理,得 AD===24(nmile). (2)在△ADC中,∠CAD=30°,AC=8, 由余弦定理,得 CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos30°. 解得CD=8nmile. ∴A处与D处的距离为24nmile, 灯塔C与D处的距离为8nmile. 【解析】 20.【答案】 (1)因为f(x)=m·n=cos2x+sin2x =2sin(2x+), 所以对称中心(-,0). (2)因为f(A)=1,所以2sin(2A+)=1, 可得2A+=或. 解得A=0(舍)或A=. 由余弦定理得cosA=,整理得bc=b2+c2-3. 联立方程b+c=3,解得或 所以S△ABC=bcsinA=. 【解析】 21.【答案】解 (1)f(x)=2sin2(x+)-cos2x =[1-cos(2x+)]-cos2x =1+sin2x-cos2x =1+2sin(2x-). ∵x∈[,],∴≤2x-≤, 故当2x-=, 即x=α=时,f(x)max=3. (2)由 (1)知A=α-=. 由sinBsinC=sin2A得bc=a2, ∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc, ∴b2+c2-bc=bc,即(b-c)2=0, 故b-c=0. 【解析】 22.【答案】解 依题意画图, 此人在C处,AB为塔高,他沿CD前过,CD=40m,此时∠DBF=45°, 从点C到点D所测塔的仰角,只有点B到CD的距离最短时,仰角最大, 这是因为tan∠AEB=,AB为定值. 过点B作BE⊥CD于点E,连接AE,则∠AEB=30°. 在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°. 由正弦定理,得=, ∴BD==20. 在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, ∴BE=DBsin15°=20×=10(-1). 在Rt△ABE中,∠AEB=30°, ∴AB=BEtan30°=(3-). 故所求的塔高(3-)m. 【解析】
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