届高中数学人教A版 解三角形单元测试Word版含答案19.docx

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届高中数学人教A版解三角形单元测试Word版含答案19

2017-2018学年度xx学校xx月考卷

一、选择题（共12小题,每小题5.0分,共60分）

1.在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a的值为（　　）

A．

B．2

C．或2

D．2

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2，B＝120°，C＝30°，则a等于（　　）

A．2

B．

C．

D．1

3.在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（　　）

A．a>bsinA

B．a＝bsinA

C．a

D．a≥bsinA

4.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（　　）

A．nmile/h

B．nmile/h

C．nmile/h

D．nmile/h

5.一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里/时的速度航行，出发时，一个灯塔B在轮船的北偏东10°方向上．经过40分钟，轮船与灯塔的距离是5海里，则灯塔和轮船最初位置的距离为（　　）

A．2海里

B．3海里

C．4海里

D．5海里

6.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是（　　）

A．5（＋）km

B．5（－）km

C．10（＋）km

D．10（－）km

7.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（　　）

A．

B．

C．

D．

8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB等于（　　）

A．－

B．

C．－

D．

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则（　　）

A．a>b

B．a

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定

10.在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积为（　　）

A．16

B．

C．18

D．32

11.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若c2＝a2＋b2－ab，则角C等于（　　）

A．60°

B．45°

C．120°

D．30°

12.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是（　　）

A．4

B．8

C．4或8

D．

二、填空题（共4小题,每小题5.0分,共20分）

13.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosA＝，b＝5，B＝，则a＝________.

14.一角槽的断面如图所示，四边形ADEB是矩形，若α＝50°，β＝70°，AC＝90mm，BC＝150mm，则DE＝________mm.

15.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝________.

16.△ABC中，AB＝5，AC＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．

三、解答题（共6小题,每小题12.0分,共72分）

17.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，＝1.414，≈2.449）．

18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

19.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

（1）A处与D处的距离；

（2）灯塔C与D处的距离．

20.已知函数f（x）＝m·n，其中m＝（1，sin2x），n＝（cos2x，），在△ABC中，a，b，c分别是角的对边，且f（A）＝1.

（1）求f（x）的对称中心；

（2）若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．

21.已知函数f（x）＝2sin2（x＋）－cos2x，x∈[，]．设x＝α时，f（x）取到最大值．

（1）求f（x）的最大值及α的值；

（2）在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝α－，且sinBsinC＝sin2A，求b－c的值．

22.某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

答案解析

1.【答案】C

【解析】∵sinC＝·c＝，∴C＝120°或C＝60°，

∴A＝30°或A＝90°，

当A＝30°时，a＝b＝；

当A＝90°时，a＝＝2.故选C.

2.【答案】A

【解析】由正弦定理得c＝＝＝2，

又A＝180°－B－C＝180°－120°－30°＝30°，所以a＝c＝2.故选A.

3.【答案】D

【解析】由正弦定理，得＝,∴a＝.

又在△ABC中，0

∴a≥bsinA.

4.【答案】B

【解析】如图所示，在△MNS中，

MS＝20，∠NMS＝45°，

∠SNM＝105°，∠MSN＝30°，

在△MNS中，由正弦定理，

得＝，

∴MN＝＝＝10（－）（nmile）．

∴货轮的速度为nmile/h.

5.【答案】D

【解析】设灯塔和轮船最初位置的距离为x海里，

如图，在△OAB中，OA＝15×＝10（海里），

AB＝5海里，∠AOB＝60°.

由余弦定理可得（5）2＝102＋x2－2×10×x×cos60°，

即x2－10x＋25＝0，∴x＝5.

6.【答案】D

【解析】由题意∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，＝，

∴BC＝＝10（－）（km）．

7.【答案】D

【解析】设等腰三角形ABC的顶角为C，a，b，c分别为角A，B，C的对边．∵l＝5c，∴a＝b＝2c，由余弦定理，

得cosC＝＝＝.

8.【答案】B

【解析】由正弦定理知

即tanB＝，所以B＝，

所以cosB＝cos＝，故选B.

9.【答案】A

【解析】在△ABC中，由余弦定理得，

c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.

∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.

∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.

10.【答案】A

【解析】如图所示，

设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，

则

即

解得或

∴cos∠BAD＝＝.

∴sin∠BAD＝.

∴SABCD＝4×5×＝16.

11.【答案】D

【解析】由余弦定理得cosC＝＝＝，

又∵0°

12.【答案】C

【解析】

13.【答案】8

【解析】由cosA＝，得sinA＝，

又由正弦定理可得＝，

∴a＝＝8.

14.【答案】210

【解析】连接AB，则∠BAC＝90°－α＝40°，∠ABC＝90°－β＝20°，

∴∠ACB＝180°－40°－20°＝120°.

∴AB2＝AC2＋BC2－2×AC·BC·cos120°

＝902＋1502－2×90×150×（－）

＝902＋1502＋90×150＝44100，

∴AB＝210mm，

∴DE＝210mm.

15.【答案】2

【解析】由条件，C＝180°－105°－45°＝30°.

根据正弦定理＝得＝，解得c＝2.

16.【答案】

【解析】设BC＝a，由余弦定理得

a2＋52－2a×5×cos120°＝72，

a2＋5a－24＝0，a＝3，

所以S△ABC＝×5×3sin120°＝.

17.【答案】解　在△ADC中，∠DAC＝30°，

∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，

所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.

在△ABC中，＝，

即AB＝＝，

因此，BD＝≈0.33（km）．

故B、D的距离约为0.33km.

【解析】

18.【答案】解　

（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC,2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.所以△ABC的周长为5＋.

【解析】

19.【答案】解　

（1）在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，

AB＝12，由正弦定理，得

AD＝＝＝24（nmile）．

（2）在△ADC中，∠CAD＝30°，AC＝8，

由余弦定理，得

CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.

解得CD＝8nmile.

∴A处与D处的距离为24nmile，

灯塔C与D处的距离为8nmile.

【解析】

20.【答案】

（1）因为f（x）＝m·n＝cos2x＋sin2x

＝2sin（2x＋），

所以对称中心（－，0）．

（2）因为f（A）＝1，所以2sin（2A＋）＝1，

可得2A＋＝或.

解得A＝0（舍）或A＝.

由余弦定理得cosA＝，整理得bc＝b2＋c2－3.

联立方程b＋c＝3，解得或

所以S△ABC＝bcsinA＝.

【解析】

21.【答案】解　

（1）f（x）＝2sin2（x＋）－cos2x

＝[1－cos（2x＋）]－cos2x

＝1＋sin2x－cos2x

＝1＋2sin（2x－）．

∵x∈[，]，∴≤2x－≤，

故当2x－＝，

即x＝α＝时，f（x）max＝3.

（2）由

（1）知A＝α－＝.

由sinBsinC＝sin2A得bc＝a2，

∵a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，

∴b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，

故b－c＝0.

【解析】

22.【答案】解　依题意画图，

此人在C处，AB为塔高，他沿CD前过，CD＝40m，此时∠DBF＝45°，

从点C到点D所测塔的仰角，只有点B到CD的距离最短时，仰角最大，

这是因为tan∠AEB＝，AB为定值．

过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，则∠AEB＝30°.

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.

由正弦定理，得＝，

∴BD＝＝20.

在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

∴BE＝DBsin15°＝20×＝10（－1）．

在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，

∴AB＝BEtan30°＝（3－）．

故所求的塔高（3－）m.

【解析】