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交角余弦
两向量夹角余弦
投影
向量在非零向量上的投影
曲面、空间曲线及其方程
1、曲面及其方程Σ:
F(x,y,z)=0,旋转曲面【绕谁不换谁,正负根号里没有谁;
作图时先画
母线然后绕其轴旋转之】,柱面【柱面三缺一,缺谁母线就平行于谁;
作图时先画准线结合母
线特点得柱面】,二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】;
要熟悉常见的曲面及其方程并会作
2、旋转曲面:
面上曲线,绕轴旋转一周:
绕轴旋转一周:
1、柱面:
表示母线平行于轴,准线为的柱面
2、二次曲面:
椭圆锥面:
椭球面:
旋转椭球面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
椭圆抛物面:
双曲抛物面(马鞍面):
椭圆柱面:
双曲柱面:
抛物柱面:
空间曲线及其方程:
一般方程:
参数方程:
如螺旋线:
空间曲线在坐标面上的投影,消去,得到曲线在面上的投影
3:
曲线(曲面或空间立体)在坐标面上的投影:
投谁便消去谁
平面方程与直线方程
平面
直线
法向量点
方向向量点
方程名称
方程形式及特征
一般式
点法式
点向式
三点式
参数式
截距式
两点式
面面垂直
线线垂直
面面平行
线线平行
线面垂直
线面平行
点面距离
面面距离
面面夹角
线线夹角
线面夹角
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
距离,邻域,点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
1、多元函数:
,图形:
2、极限:
3、连续:
4、偏导数:
5、方向导数:
其中为的方向角。
6、梯度:
,则。
7、全微分:
设,则
(二)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、微分法
1)定义:
2)复合函数求导:
链式法则
若,则
,
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(三)应用
1、极值
1)无条件极值:
求函数的极值
解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
1若,,函数有极小值,
若,,函数有极大值;
2若,函数没有极值;
3若,不定。
2)条件极值:
求函数在条件下的极值
令:
———Lagrange函数
解方程组
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
2)曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
空间曲线:
切向量
切“线”方程:
法平“面”方程:
空间曲面
:
法向量
切平“面”方程:
法“线“方程:
或
第十章重积分
重积分
积分类型
计算方法
典型例题
二重积分
平面薄片的质量
质量=面密度面积
(1)利用直角坐标系
X—型
Y—型
P141—例1、例3
(2)利用极坐标系
使用原则
(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段);
(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含,为实数)
P147—例5
(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论)
P141—例2
应用该性质更方便
计算步骤及注意事项
1.画出积分区域
2.选择坐标系标准:
域边界应尽量多为坐标轴,被积函数
关于坐标变量易分离
3.确定积分次序原则:
积分区域分块少,累次积分好算为妙
4.确定积分限方法:
图示法先积一条线,后扫积分域
5.计算要简便注意:
充分利用对称性,奇偶性
三重积分
空间立体物的质量
质量=密度面积
(1)利用直角坐标
P159—例1
P160—例2
有先一后二和先二后一之分
(2)利用柱面坐标
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用围:
积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;
如旋转体
被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如
P161—例3
(3)利用球面坐标
积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
如,球体,锥体.
被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如,
P165—10-
(1)
(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
第十一章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
第一类曲线积分
曲形构件的质量
质量=线密度弧长
参数法(转化为定积分)
(1)
(2)
(3)
P189-例1
P190-3
平面第二类曲线积分
变力沿曲线所做的功
(1)参数法(转化为定积分)
P196-例1、例2、例3、例4
(2)利用格林公式(转化为二重积分)
条件:
①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D)
②P,Q具有一阶连续偏导数
结论:
应用:
P205-例4
P214-5
(1)(4)
(3)利用路径无关定理(特殊路径法)
等价条件:
①②
③与路径无关,与起点、终点有关
④具有原函数
(特殊路径法,偏积分法,凑微分法)
P211-例5、例6、例7
(4)两类曲线积分的联系
空间第二类曲线积分
(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)
①L封闭,分段光滑,有向
②P,Q,R具有一阶连续偏导数
P240-例1
第一类曲面积分
曲面薄片的质量
投影法
投影到面
类似的还有投影到面和面的公式
P217-例1、例2
第二类曲面积分
流体流向曲面一侧的流量
(1)投影法
,为的法向量与轴的夹角
前侧取“+”,;
后侧取“”,
右侧取“+”,;
左侧取“”,
上侧取“+”,;
下侧取“”,
P226-例2
(2)高斯公式右手法则取定的侧
①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧
P231-例1、例2
(3)两类曲面积分之间的联系
转换投影法:
P228-例3
所有类型的积分:
定义:
四步法——分割、代替、求和、取极限;
性质:
对积分的围具有可加性,具有线性性;
对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章级数
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