双曲线93007.docx
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双曲线93007.docx
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双曲线93007
双曲线
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
云南
课时时长(分钟)
120
知识点
双曲线的定义及其应用
双曲线的标准方程及其求法
双曲线的几何性质及其应用
双曲线的综合问题
教学目标
1.理解双曲线的定义,并通过定义法能够求双曲线的轨迹方程;
2.掌握双曲线的定义和性质,并能够根据题目上给出的条件求双曲线的标准方程;
3.了解双曲线的性质;
4.掌握直线与双曲线的位置关系,并会求基础性的直线与双曲线的相关试题。
教学重点
双曲线的定义理解和双曲线的性质理解
教学难点
直线与双曲线的位置关系的判定和综合性题目的解决
教学过程
一、复习预习
1.直线的方程,曲线与方程;
2.圆锥曲线轨迹方程的的求法;
3.双曲线的定义和性质;
4.直线与圆锥曲线的位置关系和判定。
二、知识讲解
考点1双曲线的概念
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0;
(1)当a (2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线; (3)当a>c时,P点不存在. 考点2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图 形 性 质 范 围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴: 坐标轴 对称中心: 原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 三、例题精析 【例题1】 双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离是________. 【答案】16 【解析】由已知,双曲线中,a=8,b=6,所以c=10,由于点P到右焦点的距离为4,4<a+c=18,所以点P在双曲线右支上.由双曲线定义,可知点P到左焦点的距离为2×8+4=20,设点P到双曲线左准线的距离为d,再根据双曲线第二定义,有==,故d=16. 【例题2】 设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( ). A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 【答案】A 【解析】由题意知椭圆C1的焦点坐标为: F1(-5,0),F2(5,0). 设曲线C2上的一点P.则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知: a=4,b=3. 故曲线C2的标准方程为-=1. 【例题3】 已知椭圆C1: +=1(a>b>0)与双曲线C2: x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( ). A.a2=B.a2=13C.b2=D.b2=2 【答案】C 【解析】依题意a2-b2=5,根据对称性,不妨取一条渐近线y=2x,由,解得x=±,故被椭圆截得的弦长为,又C1把AB三等分,所以=,两边平方并整理得a2=11b2,代入a2-b2=5得b2=. 四、课堂运用 【基础】 1.双曲线-=1的焦距为( ). A.3B.4C.3D.4 【解析】 由已知有c2=a2+b2=12,∴c=2,故双曲线的焦距为4. 【答案】 D 2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ). A.2B.2C.4D.4 【解析】 双曲线2x2-y2=8的标准方程为-=1,所以实轴长2a=4. 【答案】 C 3.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( ). A.y=±xB.y=±2x C.y=±xD.y=±x 【解析】 由题意得b=1,c=.∴a=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x. 【答案】 C 4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C: x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 ( ). A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 【解析】 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是-=1. 【答案】 A 5.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于________. 【解析】 由渐近线方程y=x,且b=3,得a=2,由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=4,又|PF1|=3,∴|PF2|=7. 【答案】 7 【巩固】 1.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________. 【解析】 由题易知,双曲线的右焦点为(4,0),点M的坐标为(3,)或(3,-),则点M到此双曲线的右焦点的距离为4. 【答案】 4 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同.则双曲线的方程为________. 【解析】 ∵双曲线的渐近线为y=x,∴=,① ∵双曲线的一个焦点与y2=16x的焦点相同. ∴c=4.② ∴由①②可知a2=4,b2=12. ∴双曲线的方程为-=1. 【答案】 -=1. 3.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ). A.B.C.D. 【解析】 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则kBF=-,双曲线的渐近线方程为y=±x, ∴-·=-1,即b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得e=.又e>1,∴e=. 【答案】 D 【拔高】 1.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率. 【答案】e=2. 【解析】由l过两点(a,0)、(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0. 由原点到l的距离为c,得=c. 将b=代入,平方后整理,得 162-16×+3=0. 令=x,则16x2-16x+3=0,解得x=或x=. 由e=,得e=,故e=或e=2. ∵0<a<b,∴e===>, ∴应舍去e=,故所求离心率e=2. 2.求适合下列条件的双曲线方程. (1)焦点在y轴上,且过点(3,-4)、. (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且双曲线经过点P(,2). 【答案】y2-x2=1. 【解析】 (1)设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则因为点(3,-4),在双曲线上, 所以点的坐标满足方程,由此得 令m=,n=,则方程组化为 解方程组得 ∴a2=16,b2=9.所求双曲线方程为-=1. (2)由双曲线的渐近线方程y=±x, 可设双曲线方程为-=λ(λ≠0). ∵双曲线过点P(,2),∴-=λ,λ=-, 故所求双曲线方程为y2-x2=1. 课程小结 两种方法 (1)定义法: 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a、2b或2c,从而求出a2、b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法: 先确定焦点是在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2、b2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值. 三个防范 (1)区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2. (2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1). (3)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x. 课后作业 【基础】 1.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲 A.4+2B.-1 C.D.+1 【解析】(数形结合法)因为MF的中点P在双曲线上, |PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2为正三角形,边长都是2c,所以c-c=2a, 所以e===+1,故选D. 【答案】 D 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( ). A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 【解析】 由题意可知,解得,因此选B. 【答案】 B 3.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( ). A.4B.3C.2D.1 【解析】双曲线-=1的渐近线方程为3x±ay=0与已知方程比较系数得a=2. 【答案】 C 4.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ). A.B.C.2D.3 【解析】设双曲线C的方程为-=1,焦点F(-c,0),将x=-c代入-=1可得y2=,所以|AB|=2×=2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e==. 【答案】 B 5.(2011·青岛模拟)设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且·=0,则|+|=( ). A.B.2C.D.2 【解析】 如图,由·=0可得⊥, 又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2 为矩形,因为矩形的对角线相等, 故有|+|=||=2c=2. 【答案】 B 【巩固】 1.若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________. 【解析 由已知得e====2. ∴m=48. 【答案】48 2.已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为________. 【解析】 ∵焦点坐标是(,0),∴9+a=13,即a=4, ∴双曲线方程为-=1,∴渐近线方程为±=0,即2x±3y=0. 【答案】 2x±3y=0 3.设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则双曲线的离心率为________. 【解析】 当焦点在x轴上时,=,即=,所以e2=,解得e=;当焦点在y轴上时,=,即=,所以e2=,解得e=,即双曲线的离心率为或. 【答案】 或 【拔高】 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( ). A.2B.2C.4D.4 【解析】 由题意得⇒⇒ c==.∴双曲线的焦距2c=2. 【答案】 B 2.如下图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边上的中点,双曲线均以F1,F2为焦点,设图1,图2中双曲线的离心率分别为e1,e2,则( ).
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- 双曲线 93007
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