高考数学 热点题型和提分秘籍 专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形 文Word格式.docx
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【举一反三】
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】∵sinC=2sinB,由正弦定理,
得c=2b,
∴cosA====,又A为三角形的内角,∴A=30°
。
热点题型二判断三角形的形状
例2、在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC。
(1)求角A的大小;
(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状。
【提分秘籍】判断三角形形状的方法技巧
解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;
或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系。
另外,在变形过程中要注意A,B,C的范围对三角函数值的影响。
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
热点题型三与三角形面积有关的问题
例3.【2017浙江,14】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.
点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.
【答案】
【解析】取BC中点E,DC中点F,由题意:
,
△ABE中,,,
.
又,
综上可得,△BCD面积为,.
【变式探究】在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b。
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积。
【解析】
(1)由2asinB=b,得2a=,
又由正弦定理=,得=,所以sinA=,因为A为锐角,所以A=。
(2)由
(1)及a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=36,
又b+c=8,所以bc=,由S=bcsinA,得△ABC的面积为。
【提分秘籍】
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。
(2)已知三角形的面积解三角形。
与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.C.D.3
【答案】C
=×
6×
=。
1.【2017浙江,14】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.
2.【2017课标1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
(1).
(2).
3.【2017课标3】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
(1);
(2)
(1)由已知得,所以.
在△ABC中,由余弦定理得,即.
解得:
(舍去),.
(2)有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
【考点】余弦定理解三角形;
三角形的面积公式
4.【2017天津】在中,内角所对的边分别为.已知,,.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】
(1).
(2)
.故.
1.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则()
【解析】设边上的高为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.
2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为,若,,,则.
3.【2016高考天津理数】在△ABC中,若,BC=3,,则AC=()
(A)1(B)2(C)3(D)4
【解析】由余弦定理得,选A.
4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中,若,则的最小值是▲.
【答案】8.
【解析】,又,因即最小值为8.
【2015高考天津,理13】在中,内角所对的边分别为,已知的面积为,则的值为.
【解析】因为,所以,
又,解方程组得,由余弦定理得,所以.
【2015高考北京,理12】在中,,,,则.
【答案】1
【2015高考新课标1,理16】在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°
,BC=2,则AB的取值范围是.
(,)
【2015江苏高考,15】
(本小题满分14分)
在中,已知.
(1)求的长;
(2)求的值
(1);
(2)
【2015高考湖南,理17】设的内角,,的对边分别为,,,,且为钝角.
(1)证明:
;
(2)求的取值范围.
(1)详见解析;
(2).
(1)由及正弦定理,得,∴,即,
又B为钝角,因此,故,即;
(2)由
(1)知,
,∴,于是
,∵,∴,因此,由此可知的取值范围是.
(2014·
湖北卷)某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
江西卷)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.
四川卷)已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z,
由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+≤x≤+,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,得sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,
得α=+2kπ,k∈Z,
此时,cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,得cosα-sinα<
0,此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
1.在△ABC中,sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )
A.B.C.2D.4
【解析】选C.由正弦定理可得:
=,
即有AC===2.
3.在△ABC中,若a2+b2<
c2,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不能确定
【解析】选C.由余弦定理:
a2+b2-2abcosC=c2,
因为a2+b2<
c2,所以2abcosC<
0,
所以C为钝角,△ABC是钝角三角形.
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( )
A.B.C.D.
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°
,c=a,则 ( )
A.a>
bB.a<
b
C.a=bD.a与b的大小关系不能确定
【解析】选A.由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°
,b2+ab-a2=0,
即+-1=0,=<
1,故b<
a.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC= ( )
A.B.-C.±
D.
【解析】选A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,
由正弦定理及8b=5c得cosB===,所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×
-1=.
7.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=A+,b=2a,则角B= ( )
【解析】选D.由正弦定理及b=2a得sinB=2sinA,
由B=A+,则sin=2sinA,[]
sinA+cosA=2sinA,
3sinA=cosA,tanA=,0<
A<
π,即有A=,B=+=.
8.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .
9.在△ABC中,C=90°
,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= .
【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,
在△ABM中由正弦定理得
=①,
因为sin∠BMA=sin∠CMA=,
又AC=b=,AM==,
所以sin∠BMA=.
又由①得=,
两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,
所以sin∠BAC==.
10.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°
,则cosB= .
11.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则B= .
【解析】在△ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,
所以利用正弦定理得:
a2+c2-b2=ac,
所以cosB==,所以B=.
12.如
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