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6、半角公式:
;
;
7、函数
最大值是,最小值是,周期是;
其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心
8、由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:
先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象
途径二:
先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。
9、对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
10、求三角函数的单调区间:
一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
11、求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
12、经常使用的公式
①升(降)幂公式:
、、;
②辅助角公式:
(由具体的值确定);
2、典型例题
弦切互化
例1.已知,求
(1);
解:
(1);
练习:
的值.
解:
.
说明:
利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
函数的定义域问题
例2、求函数的定义域。
由题意知需,也即需①在一周期上符合①的角为,由此可得到函数的定义域为
确定三角函数的定义域的依据:
(1)正、余弦函数、正切函数的定义域。
(2)若函数是分式函数,则分母不能为零。
(3)若函数是偶函数,则被开方式不能为负。
(4)若函数是形如的函数,则其定义域由确定。
(5)当函数是有实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
函数值域及最大值,最小值
(1)求函数的值域
一般函数的值域求法有:
观察法,配方法判别式法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
例3、求下列函数的值域
(1)
(2)
分析:
利用与进行求解。
(1)
(2)
求函数的值域。
设,
则原函数可化为,
因为,所以当时,,当时,,
所以,函数的值域为。
(2)函数的最大值与最小值。
求值域或最大值,最小值的问题,一般的依据是:
(1)sinx,cosx的有界性;
(2)tanx的值可取一切实数;
(3)连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
例4、求下列函数的最大值与最小值
(1)
(2)(3)
(1)可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围
(2)(3)可利用二次函数在闭区间上求最值得方法。
(1)
(2)
当,即时,有最小值;
当,即,有最大值1。
(3)
函数的周期性
例5、求下列函数的周期
该例的两个函数都是复合函数,我们可以通过变量的替换,将它们归结为基本三角函数去处理。
(1)把看成是一个新的变量,那么的最小正周期是,就是说,当且必须增加到时,函数的值重复出现,而所以当自变量增加到且必须增加到时,函数值重复出现,因此,的周期是。
(2)即
的周期是。
由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关。
一般地,函数或(其中为常数,的周期。
例6、已知函数。
求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;
所以的最小正周期,因为,
所以,当,即时,最大值为;
函数的奇偶性
例7、判断下列函数的奇偶性
可利用函数奇偶性定义予以判断。
(1)函数的定义域关于原点对称
(2)函数应满足
函数的定义域不关于原点对称。
函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注:
判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称的区间,如果是,再验证是否等于
或,进而判断函数的奇偶性,如果不是,则该函数必为非奇非偶函数。
已知函数的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.
函数的单调性
例8、下列函数,在上是增函数的是()
与在上都是减函数,排除,,
知在内不具有单调性,又可排除,应选。
例9、已知函数
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)的递增区间.
(Ⅰ)
∴最小正周期T=
(Ⅱ)由题意,解不等式
得
的递增区间是
小结:
求形如的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:
三角函数思想方法归纳解析
一、数形结合思想
o
x
y
图1
y1
y2
由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深同学们对知识的识记和理解;
在解答数学题时,数形结合,有利于分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。
例1.求不等式在上的解集。
解析:
设,,在同一坐标系中作出在上两函数图像(如图1),在上解得的解为或
,故由图像得要使得,即,由于,在上为偶函数,故在上的解为,得原不等式的解集为
二、分类讨论思想
分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。
分类讨论是数学解题的重要手段,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例2.设,且恒成立,求的取值范围。
解析:
令
令,由,得,则,,在上恒成立,在上恒成立。
由二次函数图像分类讨论得,
1)当时,需得;
2)当时,需,得;
3)当时,需得
综上所述,得
三、整体思想
整体思想方法是一种常见的数学方法,它把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的有机联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。
往往能起到化繁为简,化难为易的效果。
例3.求函数的最大、最小值。
由条件和问题联想到公式,可实施整体代换求最值。
令,,则
,故当时,有最大值,且为;
当时,有最小值,且为
四、方程思想
方程是研究数量关系的重要工具。
我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系,通过建立方程或方程组,并求出未知量的值,从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。
例4.已知,求的值
令,则,,故解得
,解得,,
五、化归转化思想
化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。
处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
例5.若,,试确定的大小。
当一个问题直接难以入手或相对比较困难时,我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。
要比较的大小可转化为与比较大小就容易多了。
,又,故,
,
六、函数思想
函数思想就是在解决问题的过程中,把变量之间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,达到解决变量之间具体问题的目的。
例6.已知,求证:
由得,构造函数:
显然,故,即得
七、逆向思想
逆向思想通常是指从问题的反向进行思考,运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略,正确使用这种策略,往往能问题绝处逢生,找到求解的新途径。
例7.将函数的图像向右平移个单位后,再作关于轴的对称变换,得到函数的图像,求的解析式。
我们可以采用倒推的方法,即将整个变化过程逆过来考虑。
关于轴的对称变换为,然后再向左平移个单位得,对照比较原函数得,
三角函数常见题型
一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
例1已知向量。
(1)若,求的取值范围;
(2)函数,若对任意,恒有,求的取值范围。
(1),
即。
(2)。
,又
二、运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
例2若,在函数的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当时,的最大值为1。
(1)求函数的解析式;
(2)若,求实数的值。
由题意得,
(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为,∴的最小正周期,
。
当时,,。
(2)由,得,由,得。
故。
例3已知向量,,,,,
(1)求的值;
(2)设函数,求x为何值时,取得最大值,最大
值是多少,并求的单调增区间。
(1),,∴,
,∴,∴,.
∵,
∴,∴当时,,要使单调递增,
∴,,又,∴的单调增区间为.
例4设向量.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若函数,求的最小值、最大值.
(I)
(II)由(I)得:
时,
三、解三角形问题,判断三角形形状,正余弦定理的应用。
例5已知函数.
(I)将写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(II)如果△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角为,试求的范围及此时函数的
值域.
(I)f(x)=+(1+)=++
=sin(+)+.由sin(+)=0,即+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),即对称中心的横坐标为,(k∈Z).
(II)由已知b2=ac,得cosx=≥.∴≤cosx<1,0<x≤.
∴<+≤.∵>,∴sin<sin(+)≤1.+<
sin(+)+≤
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