曲线方程的表示方法.docx
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曲线方程的表示方法
第一章曲线论
§1.1曲线方程的表示方法
曲线的概念:
曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。
现实中的各种轨迹曲线图形
在空间直角坐标系Oxyz中,
点P的坐标表示为(x,y,z),x轴、y轴、z轴上的单位向量分别记为
444
|,j,k。
彳T彳彳彳
向量r=OP=xiyjzk,可简记为r二(x,y,z)o
o
对任意向量a,b,成立三角形不等式
Ilab||||a||||b||,
aT|b|
补充知识:
(1)向量的内积
TT
设a=佝包色),b=(dbg),
定义ab-||a||||b||cos,称为向量a
TTTTT
与b的内积;记为ab或(a,b),其中:
是向量a与b的夹角。
—fT
可以证明:
ab二aib已20asd。
(2)向量的外积(或叉积)
定义向量c的大小为
||a||||b||siz,(ow),
且c与a,b垂直,方向为使a,b,c恰成右手坐标系,此向量c称为a与b的外积,记为ab;
ai
bi
a2
b2
k
a3
b3
a2a3
aia3
a〔a?
1
b2b3
J
bib3
J
bb2
J
ai
i(
)j
o
aibi
a3
b3
外积的大小除了按上面的方法计算外,还有下面简便的计算
Ilab『*|a『||b『s十
=||a|f||b|f(仁cosS)
训a『||b『-(a,b)2
T
(bibd),
设a二佝,已2,已3)
T
c~(ci,c2,c3)
混合积
a(bc)=
X
4rb
ai
bi
a2
b2
c2
a3
b3
C3
c)二(a,b,c),
-
\7
呻c
4a
有然
\7
4a
4a斗c
-
4-c
几何意义
二重外积展开式
a(bc)=(ac)b-(ab)c,
(ab)c——c(ab)
=(ac)b-(bc)a
Lagrange恒等式
彳d+d呻a+b彳c4rc
**
4ra4rb
a)b一(c,d,b)a。
定理设tU「3)为三阶正交矩阵,
a二©总念),b=(b1,b2,b3),则有(aT)(bT)=sgn(detT)(ab)T。
证明
由外积的计算公式,并利用
Lagrange恒等式,
可得
(aT)(bT)
=(ab)C2:
3,-(:
1:
3),:
1-2)
=(ab)sgn(detT)(f3)
49
=sgn(detT)(ab)T,
这是由于it,:
:
构成右手系,或构
成左手系。
求zx2y2-2x-4y9Ix2y2-6x2y11的最小
值.
解、x2y-2x-4y9=x-1〕亠iy-2〕亠i02
又Jx?
+y2_6x十2y十11=J(x_3)2+(y+1)2+(0_1)2
是点Px,y,0与点B3,—1,—1的距离也是点Px,y,0与点
C3,-1,1的距离,
由于|AB|兰『冲+|PB|,故z的最小值为|AB|=722•
注意点A(1,2,2)与点C(3,—1,1)同在xOy平面的一侧,在xOy平面上寻找一点P(x,y,0),使|PA+|PC|最小,点B3-1-1)是点C(3,—1,1)关于xOy平面的对称点,PC=PB,AC=JT4,
此题的几何意义是经典熟知的.
一、平面曲线的几种表示方法
1°显表达:
y=f(x),函数
y=f(x)的图象G(f)说成是一段曲线。
y=f(x)是该曲线的表达式,如果某曲线是函数y=f(x)的图象,则y=f(x)称为该曲线的显表达式。
2°隐表达式:
如果曲线上的点是
由方程F(x,y)=0的解(x,y)
所构成,则方程F(x,y)=0
表示该曲线
例如:
F(x,y)=x2y2-a?
=0
表示一个圆的曲线,
F(x,ypaxbyc=0,(a2b20)
表示一个直线。
3°曲线的参数表示:
如果曲线上的点可由
来描绘,则称它为曲线的参数方程
22
例如:
单位圆xy=1有参数表达
2。
1-tan—2、二COST
1+
e
tan2,(即是万有代换),
单位圆的参数方程的几何意义:
过(-1,0)作斜率为k的直线与单位圆的交点坐标。
设斜率为k,则过点(-1,0)的直线方程为厂k(x1),求它与圆X2y2=1的交点,
联立得
k2(x+1)2+x2=1,
2222
从而y
2k
(k2+1)x22k2xk2-1当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时,圆上一个固定点P所描绘出的路径(曲线)叫做旋轮线(也称为摆线)。
方程建立的过程。
手工操作运动法。
课外搜索阅读:
摆线、最速降线的文献资料。
4°曲线的极坐标表示:
极坐标表示与直坐标表
示可以互化,
x=r()cos=
厂r(=)sin
几种表示的优缺点
1、空间曲线的表示方法
1°参数表示法:
X二x(t)y=y(t)
:
zz(t)
所形成的点(x(t),y(t),z(t)),描绘出空间中的一条曲线,称为曲线的参数示。
例如:
x=acost
y=asintbt
P(-。
0「),(a>0,b>0)
t2+22
由于xy=a,它的几何意义:
它的图形是圆柱螺线。
圆柱螺线的产生方式:
将平面上的矩形图形卷成圆柱,矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。
螺线的运动产生方式。
列举常见
的螺线
2°曲线的向量表示法
向量:
既有大小又有方向的量称为向量。
在选定坐标系下
呻TTT
向量的表示:
LX©沁ZQ,
或「二(x,y,z)。
改写成向量形式
r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t[:
],
两者表示的是同样一条曲线,
rr(t)=(x(t),y(t),z(t)),[/]称为该曲线的向量方程定义1.1
如果x=x(t),y=y(t),z=z(t)都是区间l/]上的连续函数,那么曲线
X二x(t)
.z=z(t)'' 称为连续曲线。 空间曲线的一般定义: 设i是一个区间,定义在I上的向量值函数r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)),在空间R3中构成的点集: ,称为一条曲线,称r=r(t)为曲线: 的向量方程。 多种多样的曲线已被人们所发现所认识,满足各种条件的曲线也被人们寻找出来。 练习: 试列举你所知道的曲线名称、曲线方程、曲线的来源、曲线的用处,用数学软件绘制出曲线的图形。 2TT222 ||a心(a,a)二a「a? as; ||ab||2=(ab,ab) 利a||22(a,b)||b||2。
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