数学与应用数学专业论文三对角矩阵的逆的算法及matlab实现Word文件下载.docx
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摘要
三对角矩阵在现实生活中有很多的应用,因此三对角矩阵的计算近年来被广泛地研究。
分块周期三对角矩阵在科学和工程计算方面应用广泛,块三对角矩阵和分块带状矩阵在数学、物理和工程上的很多问题中都有重要的应用。
本文基于三对角矩阵的结构特点,给出了利用解线性方程组的方法、LU分解的方法求三对角矩阵逆矩阵的新算法,这些新算法运算量小,节省内存,在整个计算过程中,只需要进行较少次的乘除运算,新算法比传统算法的计算复杂度和计算时间要低。
其次,通过算例来表示该算法的有效性和可行性。
最后,利用MATLAB编程来实现三对角矩阵逆矩阵的新算法。
关键词:
分块周期三对角矩阵;
块三对角矩阵;
分块带状三对角矩阵;
解线性方程组;
LU分解法;
逆矩阵;
MATLAB
TriplediagonalmatrixinversealgorithmandMATLAB
Abstract
Triplediagonalmatrixinreallifetherearemanyapplications,sothetriplediagonalmatrixcalculationwaswidelystudiedinrecentyears.Blockperiodictriplediagonalmatrixisappliedwidelyinscienceandengineeringcalculation,andtheblocktriplediagonalmatrixblockbandedmatricesinmathematics,physicsandengineeringhasimportantapplicationsinmanyoftheproblems,inthispaper,basedonthestructurecharacteristicsoftriplediagonalmatrices,isgivenbyusingthemethodofsolvinglinearequations,therecursivemethod,LUdecompositionofthenewmethodtocalculatetheinversematrixoftriplediagonalmatrixalgorithm,thenewalgorithmcomputationalcomplexityissmall,savememory,inthewholecomputingprocess,onlyneedslessarithmetic,anewalgorithmthanthetraditionalalgorithmofcomputingcomplexityandcomputingtime.
Secondbyanexampletoshowthefeasibilityandeffectivenessofthealgorithm
Finally,usingMATLABtorealizethetriplediagonalmatrixinversematrixofthenewalgorithm
Keywords:
Blockperiodictriplediagonalmatrix;
Block-triplediagonalmatrix;
Blockbandedtriplediagonalmatrix;
Solutionoflinearequations;
LUdecompositionmethod;
inversematrix;
MATLAB.
1.引言5
2.基础知识6
2.1定义16
2.2定义26
2.3定义37
3.分块周期三对角矩阵逆的新算法7
3.1分块三对角矩阵的一些性质7
3.2求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法10
4.块三对角矩阵的逆的算法11
4.1块三对角矩阵的一些性质11
4.2块三对角矩阵的逆13
4.2.1块三对角矩阵逆的性质13
5.三对角矩阵逆元素的表示14
5.1一般三对角矩阵14
5.2用解线性方程组的方法求三对角矩阵的逆的算法16
5.2.1基本原理与算法16
5.2.2三对角矩阵的逆矩阵的算法18
6.三对角矩阵逆的算法的MATLAB实现18
7.结束语18
8.参考文献18
附录19
致谢19
1.引言
1.1课题来源及选题意义
三对角矩阵是计算数学的重要组成部分。
它是研究代数问题的三对角矩阵快速算法及有关理论的一门学科,它既涉及数学理论方面的研究,又涉及工程设计方面的研究。
随着科学技术的发展和计算机的普及,矩阵理论和方法得到了越来越广泛的应用。
在近代数学、工程技术、经济理论及管理科学中,大量地涉及到矩阵的理论,特别是一些具有特殊结构的三对角矩阵,相应的计算规模也越来越大。
近十几年来,国防科技和国民经济建设的许多领域中就不断地提出了大型或超大型科学计算问题。
由于矩阵在各个学术领域和重要应用课题中所起的不可替代的作用,故有必要对其进行细致的研究。
科学技术和工程应用中需要进行大量地矩阵计算,而这些矩阵自身往往具备一些特殊的结构,这既是本文所研究的一类重要而特殊的稀疏矩阵——三对角矩阵的求逆问题,该类矩阵经常出现在信号处理、图像处理和数值分析等学科的一些应用问题中。
在该类矩阵的有关研究中,求逆是一个重要的问题,且一直是人们的研究热点,目前已有一些研究三对角矩阵求逆的成果。
由于在许多科学技术与工程应用中,经常会出现大量的三对角矩阵的逆的算法进行计算,所以我们有必要对三对角矩阵的逆的算法进行研究。
1.2研究现状
对于三对角矩阵逆的算法及MATLAB实现,目前很多学者根据一些三对角矩阵的特殊结构,用不同的方法对三对角矩阵逆的算法及MATLAB实现做了很多研究,并取得一定的成就。
例如2012年杜永恩,陆全,徐仲利用LU和UL分解,并使用Sheman-Morrison-
Woodbury公式,得到一个求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法(见[2]);
冉瑞生和黄廷祝利用LU和UL分解给出了两个绞形块分解,建立了一个块三对角矩阵求逆的算法(见[3]);
刘长河,刘世祥,汪元伦用解线性方程组方法得到求逆的算法(见[5]);
余承依,陈跃辉,赵立群利用周期三对角矩阵的结构特点,借助矩阵的Crout分解的方法给出了一种求三对角矩阵逆矩阵的的算法(见[6]);
车毅,徐仲,雷小娜利用递归方法给出了求分块周期三对角矩阵的逆矩阵的一种新算法(见[7]);
冉瑞生,黄廷祝,刘兴平等研究了具有Doolittle分解的三对角矩阵的求逆,得到一个求逆的算法(见[8])。
不少学者研究了三对角矩阵的逆,并进一步给出了求三对角矩阵逆矩阵的新算法,而且新算法的计算量要比传统算法小,计算效率有显著提高,但其算法的实现还有待探究
文中,为了讨论的方便,记三对角矩阵为
(1.1)且定义n个数:
=,=-(=2,…,n)。
为方便起见,我们约定若>
=1。
.
本文研究以求解分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法、块三对角矩阵逆矩阵的新算法、分块带状三对角矩阵求逆的算法、三对角矩阵逆元素的表示、稀疏矩阵的逆的算法,用算例来表示该算法的有效性和可行性。
最后用MATLAB编程来实现三对角矩阵求逆矩阵的算法。
2.基础知识
2.1定义1阶矩阵称为三对角矩阵.如果,当.
2.2定义2设分块周期三对角矩阵有如下形式:
(2.1)其中,的元素,,,,都是阶方阵。
若,则矩阵为分块三对角矩阵;
若,矩阵中的元素,,,,都是实数,则矩阵为周期三对角矩阵,且若,且,则矩阵为对称周期三对角矩阵。
2.3定义3设块三对角矩阵具有如下形式
(2.2)所有的块均是阶矩阵且非奇,负号仅是为了符号处理上的方便而添
加的。
设是的顺序主子矩阵,其中的所有对角块矩阵即是的对角块矩阵,,…,。
假定的所有顺序主子块矩阵,,…,均非奇异。
为了讨论的方便,设,其中是矩阵。
3.分块周期三对角矩阵逆的新算法
3.1分块三对角矩阵的一些性质
引理1设是分块三对角矩阵,则可分解为:
其中,,,可按:
,,,,,
计算。
证明
(1)因为
所以
(2)因为
=
所以.
引理2(Sherman-Morrison公式)设是阶可逆方阵,均是维列向量,则当且仅当时,是可逆的,且:
引理3(Sherman-Morrison-Woodbury公式)设是阶可逆方阵,,均为矩阵,则当且仅当可逆时,是可逆的,且:
证明:
令则(3.1)
令则(3.1)式为(3.2)
在(3.2)式左右两端同时乘以令,则(3.2)为可得,又
所以
引理4设是分块三对角矩阵,且是顺序主子阵可逆。
设存在,则存在4个矩阵:
,,,均为阶方阵,使得:
,或其中对所有的都有。
且,,,可如下求得:
给定,:
(1),。
(2),。
(3),。
(4),。
其中,,,有引理1得到。
3.2求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法
给定阶可逆方阵,,令,,构造向量:
(3.3)
则分块周期三对角矩阵可表示为:
其中
(3.4)
由引理3的Sherman-Morrison-Woodbury公式可得:
由此可得如下结论。
若是如(2.1)所示的分块周期三对角矩阵,,,如(3.3)和(3.4)中定义,设可逆,则可逆的充要条件是可逆,且的元素可由如下算法计算得到:
任意选定,可逆,,。
,,,,,,
给定,,,,,,,,,,,.
以上所得即为分块周期三对角矩阵的逆矩阵,当取时,分块周期三对角矩阵子块都是1阶的实数,则式
(2)中的矩阵为周期三对角矩阵,
根据以上算法可得到求周期三对角矩阵逆矩阵的新算法。
4.块三对角矩阵的逆的算法
4.1块三对角矩阵的一些性质
引理1设是一个块三对角矩阵,其中,,均是阶矩阵。
设和存在。
设存在,记为,其中均是矩阵,于是,即:
(4.1)
式中,,
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