北师版数学选修45第1章 章末综合测评1文档格式.docx
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北师版数学选修45第1章 章末综合测评1文档格式.docx
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【解析】 由a>b+1,得a>b+1>b,即a>b,而由a>b不能得出a>b+1,因此,使a>b成立的充分不必要条件是a>b+1,选A.
【答案】 A
4.在下列函数中,当x取正数时,最小值为2的是( )
A.y=x+
B.y=lgx+
C.y=+
D.y=sinx+(0<x<π)
【解析】 y=x+≥2=4,A错;
当0<x≤1时,lgx≤0,B错;
当=时,x=0,
∴y=+≥2,此时等号取不到,C错;
y=sinx+≥2,此时sinx=1,D正确.
5.不等式|5x-x2|<6的解集为( )
A.{x|x<2或x>3}
B.{x|-1<x<2或3<x<6}
C.{x|-1<x<6}
D.{x|2<x<3}
【解析】 |5x-x2|<6⇒-6<5x-x2<6
⇔∴-1<x<2或3<x<6.
6.若不等式2x2+ax+b<
0的解集为,则a-b的值是( )
A.B.
C.D.
【解析】 由题意,得-=-,=-,所以a-b=-=.
7.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )
A.ab≤B.ab≥
C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3
【解析】 由a≥0,b≥0,且a+b=2,
∴4=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),
∴a2+b2≥2.
【答案】 C
8.设a,b,c为正数,则三个数a+,b+,c+满足( )
A.都不大于2B.都不小于2
C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2
【解析】 若a+<2,b+<2,c+<2同时成立,
相加得++<
6,①
∵a,b,c为正数,∴a+≥2,b+≥2,c+≥2,
三式相加得++≥6.②
因为①式与②式矛盾,所以a+,b+,c+至少有一个不小于2,选D.
9.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2B.4
C.6D.8
【解析】 (x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(当且仅当=时,取等号).
∵(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴只需(+1)2≥9,∴a≥4.
10.已知a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
【解析】 由(1-aix)2<1,得0<aix<2.
又ai>0,∴0<x<对ai(i=1,2,3)恒成立,
则x小于的最小值.
又a1>a2>a3,
∴的最小值为,则x<.
因此x的取值范围为,选B.
11.设a>
b>
c,n∈N,且+≥恒成立,则n的最大值是( )
A.2B.3
C.4D.6
【解析】 ∵+=+=2++≥4,当且仅当=时,取等号,
∴+≥,而+≥恒成立,得n≤4.
12.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
C.6D.9
【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b,
由f(x)在x=1处有极值,
得f′
(1)=12-2a-2b=0,
∴a+b=6.
又a>0,b>0,∴ab≤==9,
当且仅当a=b=3时取到等号,故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.不等式|x-1|+|x+3|≥6的解集是________.
【解析】 当x≤-3时,-2x-2≥6⇒x≤-4;
当x≥1时,2x+2≥6⇒x≥2;
当-3<
x<
1时,4≤6,舍去.
故解集为{x|x≥2或x≤-4}.
【答案】 (-∞,-4]∪[2,+∞)
14.关于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1的解集是空集,则a的取值范围是________.
【解析】 |x-1|+|x-2|的最小值为1,
故只需a2+a+1<1,∴-1<a<0.
【答案】 (-1,0)
15.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.
【解析】 ∵|x-1|≤1,∴-1≤x-1≤1,∴0≤x≤2.
又∵|y-2|≤1,∴-1≤y-2≤1,∴1≤y≤3,
从而-6≤-2y≤-2.
由同向不等式的可加性可得-6≤x-2y≤0,
∴-5≤x-2y+1≤1,
∴|x-2y+1|的最大值为5.
【答案】 5
16.设x∈,则函数y=的最小值为________.
【导学号:
94910028】
【解析】 y==tanx+.
∵x∈,∴tanx>0,
则tanx+≥2=,
当且仅当tanx=时,取等号,
∴ymin=.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)解不等式x+|2x-1|<3.
【解】 法一 原不等式可化为
或
解得≤x<或-2<x<.
所以原不等式的解集是.
法二 由于|2x-1|<3-x,
∴x-3<2x-1<3-x,
解得x>-2且x<.
∴原不等式的解集是.
18.(本小题满分12分)已知a,b为正数,求证:
+≥.
【证明】 ∵a>0,b>0,
∴(a+b)=5++≥5+2=9.
由a+b>0,
得+≥.
19.(本小题满分12分)设a≥b>0,求证:
3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
【证明】 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)
=3a2(a-b)+2b2(b-a)
=(3a2-2b2)(a-b).
因为a≥b>0,
所以a-b≥0,3a2-2b2>0,
从而(3a2-2b2)(a-b)≥0.
故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.
20.(本小题满分12分)
(1)设x是正数,求证:
(x+1)·
(x2+1)(x3+1)≥8x3;
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?
如果成立,请给出证明;
如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.
【证明】
(1)x是正数,由重要不等式知,
x+1≥2,1+x2≥2x,x3+1≥2,
故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·
2x·
2
=8x3(当x=1时等号成立).
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.证明如下:
由
(1)知,当x>0时,不等式成立;
当x≤0时,8x3≤0,
又(x+1)(x2+1)(x3+1)
=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)
=(x+1)2(x2+1)≥0,
此时不等式仍然成立.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【解】
(1)当a=1时,f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,无解;
当-1<
1时,不等式化为3x-2>
0,解得<
1;
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<2.
所以f(x)>
1的解集为.
(2)由题设可得f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>
6,故a>
2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
22.(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区,如图1所示,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪.造价为每平方米210元,再在四个空角上铺草坪,造价为每平方米80元.
图1
(1)设总造价为S元,AD长为x米,试求S关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,S取得最小值?
并求出这个最小值.
【解】
(1)设DQ=y米,又AD=x米,
故x2+4xy=200,
即y=.
依题意,得S=4200x2+210×
4xy+80×
2y2,
=4200x2+210(200-x2)+160
=38000+4000x2+.
依题意x>0,且y=>0,
所以0<x<10.
故所求函数为S=38000+4000x2+,x∈(0,10).
(2)因为x>0,
所以S≥38000+2=118000,
当且仅当4000x2=,
即x=时取等号.
所以当x=∈(0,10)时,
Smin=118000元.
故AD=米时,S有最小值118000元.
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