浙江专版高考数学母题题源系列专题14函数与不等式Word格式.docx
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先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
【母题原题2】【2017浙江,17】已知,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】,分类讨论:
①当时,,
函数的最大值,舍去;
②当时,,此时命题成立;
③当时,,则:
或,解得:
或
综上可得,实数的取值范围是.
【名师点睛】本题利用基本不等式,由,得,通过对解析式中绝对值符号的处理,进行有效的分类讨论:
①;
②;
③,问题的难点在于对分界点的确认及讨论上,属于难题.解题时,应仔细对各种情况逐一进行讨论.
【母题原题3】【2016浙江,理18】已知,函数F(x)=min{2|x−1|,x2−2ax+4a−2},
其中min{p,q}=
(Ⅰ)求使得等式F(x)=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围;
(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);
(ⅱ)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
(Ⅰ);
(Ⅱ)(ⅰ);
(ⅱ).
试题解析:
(Ⅰ)由于,故
当时,,
当时,.
所以,使得等式成立的的取值范围为.
(Ⅱ)(ⅰ)设函数,,
则,,
所以,由的定义知,即
(ⅱ)当时,
,
所以,.
【考点】函数的单调性与最值,分段函数,不等式.
【思路点睛】
(Ⅰ)根据的取值范围化简,即可得使得等式成立的的取值范围;
(Ⅱ)(Ⅰ)先求函数和的最小值,再根据的定义可得;
(Ⅱ)根据的取值范围求出的最大值,进而可得.
【命题意图】高考对本部分内容的以考查能力为主,重点考查分段函数、绝对值的概念、基本函数的性质、不等式的解法,考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.
【命题规律】函数是高考命题热点之一,往往以常见函数为基本考察对象,以绝对值或分段函数的呈现方式,与不等式相结合,考查函数的基本性质,如单调性与最值、函数与方程(零点)、不等式的解法等.由于导数的加入,除将函数与导数相结合考查外,仍有对函数独立的考查题目,难度基本稳定在中等或以下.
【答题模板】求解函数不等式问题,一般考虑:
第一步:
化简函数,明确函数的构成特点.当呈现方式含绝对值式时,要利用绝对值的概念化简函数;
第二步:
根据函数特征,联想函数的性质,确定求解方法.根据函数的构成特点,结合题目要求,联想函数的单调性、零点的概念、不等式的解法、不等式恒成立问题的解法等;
第三步:
运算求解.
【方法总结】
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理:
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·
f(b)<
0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:
通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
3.确定函数最值的方法:
(1)单调性法:
考查函数的单调性,确定函数的最值点,便可求出函数相应的最值.
(2)图象法:
对于由基本初等函数图象变化而来的函数,通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
(3)分段函数的最值:
将每段函数的最值求出,比较大小确定函数的最值.
(4)导数法:
对于一般的可导函数,可以利用导数求出函数的极值,并与端点值进行大小比较,从而确定函数的最值.
4.分段函数体现了数学的分类讨论思想,求解分段函数问题时应注意以下三点:
(1)明确分段函数的分段区间.
(2)依据自变量的取值范围,选好讨论的切入点,并建立等量或不等量关系.
(3)在通过上述方法求得结果后,应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内.
5.含绝对值不等式的应用中的数学思想
(1)利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
(2)利用函数的图象求解,体现了数形结合的思想.
1.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】设函数,其中表示中的最小者.下列说法错误的()
A.函数为偶函数B.若时,有
C.若时,D.若时,
【答案】D
【解析】分析:
的图像可由三个函数的图像得到(三图垒起,取最下者),然后依据图像逐个检验即可.
在同一坐标系中画出的图像(如图所示),
故的图像为图中粗线所示.
的图像关于轴对称,故为偶函数,故A正确.
当时,,;
当时,,此时有,故B成立.
从图像上看,当时,有成立,令,则,故,故C成立.
取,则,,,故D不成立.
综上,选D.
一般地,若(其中表示中的较小者),则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的.
2.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知函数,函数有四个不同的零点,从小到大依次为则的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】A
首先根据题中所给的函数解析,将函数的大致图像画出来,可以判断出函数有四个零点时对应参数的范围,并且可以断定有两个正根,两个负根,以及两个负根和为定值,从而确定出其积的取值范围,两个正根可以解方程,之后用两根和来断定,最后根据题的条件,确定出其取值范围.
所以,故选A.
该题考查的是有关函数零点的问题,涉及到的知识点由函数图像的对称性,对勾函数图像的走向,函数零点个数向向函数图像交点个数靠拢,总之要想最对改题目,必须将基础知识抓牢.
3.【2018届福建省莆田市第二次检测】已知函数是定义在上的偶函数,且满足若函数有六个零点,则实数的取值范围是()
首先根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,注意分段函数要明确相应的式子,当时,很容易画出抛物线段,当时,利用导数研究函数的单调性,利用函数解析式,确定出函数值的符号,从而画出函数的图像,利用偶函数的图像的对称性,得到函数图像与直线在y轴右侧有三个交点,观察图像可得结果.
画出函数的图像,当时,很容易画出抛物线段,利用导数研究函数的图像的走向,从而确定出其在上单调减,在上单调增,但是其一直落在x轴下方,因为是定义在上的偶函数,所以函数有六个零点,等价于有三个正的零点,相当于函数图像与直线在y轴右侧有三个交点,观察图像可知的取值范围是,故选D.
该题考查的是有关函数零点的个数问题,在求解的过程中,将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题,结合偶函数的图像的对称性,得到在y轴右侧有三个交点,利用导数研究函数的单调性,得到函数图像的走向,从而观察图像求得结果.
4.【2018届天津市滨海新区七所重点学校联考】已知函数,若存在,使得关于的函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是()
【答案】B
【解析】,,当时,,其对称轴,则函数在上为增函数,此时的值域为;
当时,,其对称轴,则函数在上为增函数,此时函数的值域为,函数在上为减函数,值域为.由于关于的函数有三个不同的零点,所以.而为增函数,故.所以.故选B.
5.【百校联盟2018届TOP202018届三月联考】已知若,恒成立,则的取值范围为()
【答案】C
【解析】当时,,则是的最大值,,当时,,当时取等号,要满足,需,即,解之得,得的取值范围是,故选C.
6.【2018届北京市人大附中二模】已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则实数b的取值范围是()
【解析】,.构造函数,画出函数的图象如下图所示,其中的坐标分别为.故当时,与有个交点,故选.
7.【2018届浙江省绍兴市5月调测】设函数有两个零点,则实数的值是_________.
将原问题进行换元,转化为两个函数有两个交点的问题,然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果.
不防令,则.
原问题转化为函数与函数的图像有2个交点,
函数的图像是确定的,如下所示(三个函数图像对应满足题意的三种情况),
而函数是一动态V函数,顶点轨迹y=x,
当动态V函数的一支与反比例函数相切时,即为所求.
联立可得,
则满足题意时:
,解得:
注意到当V函数的顶点为时满足题意,此时.
综上可得:
实数的值是.
8.【2018届浙江省温州市一模】已知函数有六个不同零点,且所有零点之和为3,则的取值范围为__________.
【解析】根据题意,有,于是函数关于对称,结合所有的零点的平均数为,可得,此时问题转化为函数,在上与直线有个公共点,此时,当时,函数的导函数,于是函数单调递增,且取值范围是,当时,函数的导函数,考虑到是上的单调递增函数,且,于是在上有唯一零点,记为,进而函数在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值,如图:
接下来问题的关键是判断与的大小关系,注意到,,函数,在上与直线有个公共点,的取值范围是,故答案为.
9.【2017届浙江省台州市高三上学期期末】已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为__________.
【解析】设,则,由于,则,所以将以上三式两边相加可得,即,应填答案.
10.【2018届江苏省扬州树人学校模拟四】已知函数的最小值为,则实数的取值集合为__________.
【答案】.
∵函数最小值为,
∴.
②当,即时,则,
∴在上上先减后增,最小值为;
在上的最小值为.
∴,解得,不合题意,舍去.
③当,即时,则,
∴,解得或(舍去).
综上可得或,
∴实数的取值集合为.
11.【2018届湖南省岳阳市第一中学一模】已知若,恒成立,则的取值范围为__________.
由题意若,即函数,根据分段函数及二次函数的图象与性质,即可求解实数的取值范围.
12.【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高二下期中联考】已知函数
(1)若在上恒成立,求a的取值范围;
(2)求在[-2,2]上的最大值M(a).
(1);
(2).
(1)先根据绝对值定义去掉绝对值,并分离变量得当x>
1时,;
当x<
1时,,当x=1时,a∈R;
再根据函数最值得a的取值范围;
(2)先根据图像得函数最大值只能在f
(1),f
(2),f(-2)三处取得,再根据三者大小关系以及对应对称轴确定最大值取法,最后用分段函数书写.
(1)即(*)对x∈R恒成立,
①当x=1时,(*)
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- 浙江 专版 高考 数学 母题题源 系列 专题 14 函数 不等式