学年高中数学考点39直线与圆锥曲线的位置关系Word下载.docx
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4.
2.(2015·
四川高考文科·
T10)设直线与抛物线相交于,两点,与圆()相切于点,且为线段的中点。
若这样的直线恰有条,则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【解题指南】数形结合,分类讨论,结合几何特征,可以利用三角函数设出切点坐标,利用点差法可表示出半径,,再结合圆与抛物线的位置关系,可进一步确定半径范围。
【解析】选。
当直线与轴垂直的时候,满足条件的直线有且只有2条。
当直线与轴不垂直的时候,由对称性不妨设切点
则切线的斜率:
由于点在抛物线内,所以
综上,
二、解答题
3.(2015·
天津高考理科·
T19)(本小题满分14分)已知椭圆(a>
b>
0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.
(1)求直线FM的斜率.
(2)求椭圆的方程.
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
【解题指南】
(1)由椭圆知识先求出a,b,c的关系,设直线FM的方程为y=k(x+c),求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率k的值.
(2)由
(1)设椭圆方程为,直线与椭圆方程联立,求出点M的坐标,由|FM|=可求出c,从而可求椭圆方程.(3)设出直线FP:
y=t(x+1),与椭圆方程联立,求得t=>
求出x的范围,即可求直线OP的斜率的取值范围.
【解析】
(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>
0),则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知,有+,解得k=.
(2)由
(1)得椭圆方程为,直线FM的方程为两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.
因为点M在第一象限,可得M的坐标为(c,c).
有
解得c=1,
所以椭圆的方程为.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),
与椭圆方程联立消去,整理得.又由已知,得,
解得-<
x<
-1,或-1<
0.
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.
①当x∈(-,-1)时,有y=t(x+1)<
0,因此m>
0,于是m=,得m∈(,).
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>
0,因此m<
0,于是m=-,得m∈(-∞,-).
综上,直线OP的斜率的取值范围是(-∞,-)∪(,).
4.(2015·
T20)如图,椭圆(>
>
0)的离心率是,点在短轴上,且
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点。
是否存在常数,使得为定值?
若存在,求的值;
若不存在,请说明理由。
(1)利用向量关系求出,再利用离心率求出
(2)先假设存在。
通过与轴平行的两根特殊直线带入算出的值为1。
再设任意直线,由韦达定理带入验证是否对于任意直线,都满足题意。
(1)由知,解得,再由离心率是得到;
因此椭圆方程为
(2)a)取过点的直线为,此时;
;
b)取过点的直线为,此时;
;
令解得.
现设直线为,验证当是否使得为定值.
联立直线与椭圆得到,;
设,由韦达定理知:
。
。
所以,存在常数,使得为定值。
5.(2015·
安徽高考文科·
T20)设椭圆E的方程为点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足直线OM的斜率为。
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:
MNAB。
(1)由和椭圆的离心率公式求得。
(2)通过向量的数量积得出。
(1)由题意可知点M的坐标是,又,所以,进而得,故。
(2)由N是AC的中点可知,点N的坐标为,可得,又,从而。
由
(1)的计算结果可知,所以,故。
6.(2015·
安徽高考理科·
T20)设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.
(I)求E的离心率e;
(II)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
(2)根据点N关于直线AB的对称点S在直线AB上且联立方程组求得b的值。
(2)直线AB的方程为,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且,从而有,所以,故椭圆的方程为
7.(2015·
北京高考理科·
T19)(14分)已知椭圆的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).
(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:
y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?
若存在,求点Q的坐标;
若不存在,说明理由.
(1)由点P可求得b2,再利用可求得a.写出直线PA方程,令y=0得M坐标.
(2)把∠OQM=∠ONQ转化为tan∠OQM=tan∠ONQ.
(1)椭圆过,所以,
离心率,所以,
所以椭圆方程为。
因为,,所以直线的方程为,直线PA与x轴交于M,令,则,所以。
(2)因为,所以直线PB的方程为,直线PB与x轴交于N,令,则,所以。
设,,
,
因为,所以,
所以。
所以,所以。
因此,存在点,使。
8.(2015·
北京高考文科·
T20)(14分)已知椭圆C:
x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,AE与直线x=3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率.
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.
(1)化成标准方程再求离心率.
(2)表示出AE方程,求出点M坐标,再求BM的斜率.(3)由
(2)可知BM∥DE,所以只需证明BM的斜率为1.
(1)椭圆C化为标准方程,则,
所以离心率。
.
(2)由AB过点D(1,0)且垂直于x轴可得AB方程为x=1,
设A(1,m),B(1,-m),AB方程与椭圆方程联立解得m2=.
AE方程为y-1=(x-2),
令x=3得M(3,2-m).所以BM的斜率为。
(3)当AB斜率不存在时,DE的斜率为1,由
(2)可知直线BM与直线DE斜率相等,所以BM∥DE.
当AB斜率存在时,设AB:
y=k(x-1)(k≠1),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消y得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
Δ=36k4-4(1+3k2)(3k2-3)=12+24k2>
0,,
直线AE方程:
,令得,
直线BM的斜率为
=
=1.所以BM//DE。
综上,BM//DE。
9.(2015·
天津高考文科·
0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为,
(1)求直线BF的斜率.
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
①求λ的值;
②若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.
(1)先由=及a2=b2+c2,得a=c,b=2c,直线BF的斜率
(2)先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q的横坐标,可得
②先由|PM|sin∠BQP=得|BP|=
|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=,由此求出c=1,
故椭圆方程为+=1.
(1)由已知及可得
故直线BF的斜率
(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),
①由
(1)可得椭圆方程为直线BF的方程为y=2x+2c,两方程联立消去y得3x2+5cx=0,解得xP=-.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立消去y得21x2-40cx=0,解得.又因为,及xM=0得
②由①得,所以,即,
又因为
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.
又因为yP=2xP+2c=-c,
所以
因此c=,c=1,
所以椭圆方程为.
10.(2015·
T20)如图,椭圆E:
(a>
0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.
(1)求椭圆E的方程.
(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由离心率可得a与b的一个关系式,由椭圆过点(,1)可得关于a与b的另一个关系式,进而可求方程.
(2)由特殊到一般,先找出特殊位置时的定点坐标,再证明在一般情况下也存在,在解题过程中注意数形结合,利用平面几何知识简化解题步骤,结合一元二次方程根与系数的关系得出结论.
(1)由题意知,椭圆过点(,1),
所以①
又②
联立①②解得,a2=4,b2=2,
所以,椭圆方程为.
(2)假设存在不同于点的定点使恒成立,
当平行于由得点在轴上,设
当垂直于轴时,由得:
设
由三角形相似得
所以,
又
所以,
(1)
联立,得,
将其代入
(1)得,恒成立,
故存在满足题设。
11.(2015·
江苏高考·
T18)(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
(1)利用椭圆的离心率以及右焦点到左准线的距离,联立方程组求解即可得出椭圆的方程.
(2)设AB的斜率为k,联立直线AB与椭圆的方程,利用弦长公式表示出AB的长,利用点斜式求出垂线PC的方程,得出P点的坐标,表示出PC的长度,然后根据条件PC=2AB得出关于k的方程,求解即可.
(1)设F(c,0),椭圆的左准线方程为,根据题意得
解得
所以.所以椭圆的方程为.
(2)设A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),C点的坐标为(x3,y3),P点的坐标为(x4,y4).
若直线AB⊥x轴,则AB的方程为x=1,此时易知AB=,PC
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