最新高考数学理第四章三角函数 课时撬分练44习题及答案Word格式文档下载.docx
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∴b2=ac=2a2,
∴b=a.由余弦定的推论可得cosB==.故选A.
3.[2016·
枣强中学热身]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为( )
A.60°
B.30°
C.150°
D.45°
答案 B
解析 由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,则sin2B=1,因为0°
<
B<
180°
,所以B=45°
,又因为a=,b=2,所以在△ABC中,由正弦定得=,解得sinA=,又a<
b,所以A<
B=45°
,所以A=30°
.
4.[2016·
衡水中学一轮检测]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 解法一:
因为a=2bcosC,所以由余弦定得,a=2b·
,整得b2=c2,则此三角形一定是等腰三角形.
解法二:
因为a=2bcosC,由正弦定得sinA=2sinBcosC,又A+B+C=π,故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC得sin(B-C)=0,又B、C∈(0,π),所以B=C.
5.[2016·
衡水二中周测]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,B,C成等差列,2a,2b,2c成等比列,则cosAcosB=( )
解析 由已知得2B=A+C,又A+C+B=π,故B=,又4b2=4ac,则b2=ac,所以由余弦定得b2=a2+c2-2accos=ac,即(a-c)2=0,故a=c,所以△ABC是等边三角形,则cosAcosB=cos60°
×
cos60°
=.
6.[2016·
枣强中学仿真]某人向正东方向走xkm后,向右转150°
,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好是km,那么x的值为( )
A.B.2
C.或2D.3
解析 如图所示,设此人从A出发,则AB=xkm,BC=3km,AC=km,∠ABC=30°
,
由余弦定,得()2=x2+32-2x·
3·
cos30°
整得x2-3x+6=0,解得x=或2.
7.[2016·
衡水二中月考]在不等边△ABC(三边均不相等)中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有=,则角C的大小为________.
答案
解析 依题意得acosA=bcosB,从而sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,则2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,又△ABC三边均不相等,因此A+B=,C=.
8.[2016·
武邑中学热身]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=,若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个,则b的取值范围为________.
点击观看解答视频
答案 (0,]∪{2}
解析 如图1所示,当a=bsinA,即=bsin,b=2时,△ABC为直角三角形,只有一个解;
如图2所示,当a≥b时,即0<
b≤时,三角形有且只有一个.所以b的取值范围为(0,]∪{2}.
9.[2016·
衡水二中期中]已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,a=4,b=6,cosA=-.
(1)求c;
(2)求cos的值.
解
(1)在△ABC中,由余弦定得,
a2=b2+c2-2bccosA,代入据得48=36+c2-2×
c×
6×
,即c2+4c-12=0,(c+6)(c-2)=0,解得c=2或c=-6(舍),∴c=2.
(2)由cosA=-<
0,得A为钝角,且sinA=.
在△ABC中,由正弦定,得=,则sinB===,由于B为锐角,则cosB=,
cos2B=1-2sin2B=1-2×
=-,
sin2B=2sinBcosB=2×
=,
所以cos=(cos2B+sin2B)
==.
10.
[2016·
枣强中学模拟]如图,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cosB=,cos∠ADC=-.
(1)求sin∠BAD的值;
(2)求AC边的长.
解
(1)因为cosB=,所以sinB=.
又cos∠ADC=-,所以sin∠ADC=,
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=×
-×
(2)在△ABD中,由=得=,
解得BD=2.
故DC=2,从而在△ADC中,由AC2=AD2+DC2-2AD·
DC·
cos∠ADC=32+22-2×
3×
2×
=16,得AC=4.
11.[2016·
衡水二中期末]在△ABC中,2sin2C·
cosC-sin3C=(1-cosC).
(1)求角C的大小;
(2)若AB=2,且sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
解
(1)由2sin2C·
cosC-sin(2C+C)=(1-cosC),
得sin2CcosC-cos2CsinC=-cosC,
简得sinC=-cosC,
即sinC+cosC=,
2sin=,
所以sin=,
从而C+=,故C=.
(2)由sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,
可得sinBcosA=2sinAcosA.
所以cosA=0或sinB=2sinA.
当cosA=0时,A=90°
,则b=,
S△ABC=·
b·
c·
sinA=×
1=;
当sinB=2sinA时,由正弦定得b=2a.
由cosC===,
可知a2=.
所以S△ABC=·
a·
sinC=·
2a·
=a2=.
综上可知S△ABC=.
12.[2016·
冀州中学仿真]在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=,a+b=λc(其中λ>
1).
(1)若λ=时,证明△ABC为直角三角形;
(2)若·
=λ2,且c=3,求λ的值.
解
(1)∵λ=,∴a+b=c,
由正弦定得sinA+sinB=sinC,
∵C=,∴sinB+sin=,
sinB+cosB+sinB=,
∴sinB+cosB=,
则sin=,从而B+=或B+=,B=或B=.
若B=,则A=,△ABC为直角三角形;
若B=,△ABC亦为直角三角形.
=λ2,则a·
b=λ2,∴ab=λ2.
又a+b=3λ,由余弦定知a2+b2-c2=2abcosC,
即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,
故9λ2-λ2=9,得λ2=4,又∵λ>
1,即λ=2.
能力组
13.[2016·
衡水二中模拟]已知△ABC的三边长为a,b,c,且面积S△ABC=(b2+c2-a2),则A=( )
解析 因为S△ABC=bcsinA=(b2+c2-a2),所以sinA==cosA,故A=.
14.[2016·
枣强中学期末]若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
解析 在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,
∴a∶b∶c=5∶11∶13,
故令a=5k,b=11k,c=13k(k>
0),由余弦定可得
cosC===-<
0,
又∵C∈(0,π),∴C∈,
∴△ABC为钝角三角形,故选C.
15.[2016·
衡水二中仿真]在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,且2cos(B-C)=4sinBsinC-1.
(1)求A;
(2)若a=3,sin=,求b.
解
(1)由2cos(B-C)=4sinBsinC-1,得2(cosBcosC+sinBsinC)-4sinBsinC=-1,即2(cosBcosC-sinBsinC)=-1.
从而2cos(B+C)=-1得cos(B+C)=-.
又A,B,C为△ABC的内角,
∴B+C=π,故A=.
(2)由
(1)知0<
π,∴0<
,已知sin=,得cos=,∴sinB=2sincos=,
由正弦定=得=,解得b=.
16.[2016·
衡水二中热身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100m,∠PAB=75°
,∠QAB=45°
,∠PBA=60°
,∠QBA=90°
,如图所示.则P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少?
解 △PAB中,∠APB=180°
-(75°
+60°
)=45°
由正弦定得=⇒AP=50.
△QAB中,∠ABQ=90°
∴AQ=100,∠PAQ=75°
-45°
=30°
由余弦定得PQ2=(50)2+(100)2-2×
50×
100cos30°
=5000,
∴PQ==50.
因此,P,Q两棵树之间的距离为50m,A,P两棵树之间的距离为50m.
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