届湖北省武汉市武昌区高三元月调考理科数学试题Word文件下载.docx
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C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
3.若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为
A.1B.2C.3D.4
4.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
0.5
2.0
得到的回归方程为.若,则每增加1个单位,就
A.增加个单位B.减少个单位
C.增加个单位D.减少个单位
5.如图,取一个底面半径和高都为R的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分).设截面面积分别为和,那么
A.B.=C.D.不确定
6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别是
A.24+和40
B.24+和72
C.64+和40
D.50+和72
7.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为
A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1
8.如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1),B(,—1),C(,1),D(0,1),正弦曲线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是
A.
B.
C.
D.
9.抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段的中点在上的投影为,则的最大值是
A.B.C.D.
10.已知函数是定义在R上的奇函数,它的图象关于直线对称,且.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11—14题)
11.已知正方形的边长为,为的中点,为的中点,则_______.
12.根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是_______.
13.设斜率为的直线与双曲线交于不同的两点P、Q,若点P、Q在轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率是.
14.“渐升数”是指除最高位数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13456和35678都是五位的“渐升数”).
(Ⅰ)共有个五位“渐升数”(用数字作答);
(Ⅱ)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,则第110个五位“渐升数”是.
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:
几何证明选讲)
过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.
16.(选修4-4:
坐标系与参数方程)
已知曲线的参数方程是(为参数,a为实数常数),曲线的参数方程是(为参数,b为实数常数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.若与分曲线所成长度相等的四段弧,则.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分11分)
已知函数的在区间上的最小值为0.
(Ⅰ)求常数a的值;
(Ⅱ)当时,求使成立的x的集合.
18.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的首项为1,前n项和为,且S1,S2,S4成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记为数列的前项和,是否存在正整数n,使得?
若存在,求的最大值;
若不存在,说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图,在棱长为2的正方体中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.
(Ⅰ)求证:
A1F⊥C1E;
(Ⅱ)当三棱锥的体积取得最大值时,求二面角的正切值.
20.(本小题满分12分)
对某交通要道以往的日车流量(单位:
万辆)进行统计,得到如下记录:
日车流量x
频率
0.05
0.25
0.35
0.10
将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立.
(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率;
(Ⅱ)用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数,求X的分布列和数学期望.
21.(本小题满分14分)
已知椭圆C:
的焦距为4,其长轴长和短轴长之比为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设F为椭圆C的右焦点,T为直线上纵坐标不为0的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(ⅰ)若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点),求的值;
(ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当最小时,求点T的坐标.
22.(本小题满分14分)
已知函数(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为-1.
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:
当时,;
(Ⅲ)证明:
当时,.
理科数学参考答案及评分细则
1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.D8.B9.C10.C
11.0 12.an=2n,或aN=2N13.
14.(Ⅰ)126;
(Ⅱ)3457915.416.2
17.解:
(Ⅰ)因为,所以.
因为时,,所以时的取得最小值.
依题意,,所以;
…………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
要使,即.
所以,即.
又,故使成立的x的集合是.………………………………(11分)
18.解:
(Ⅰ)设数列的公差为,依题意,1,,成等比数列,
所以,即,所以或.
因此,当时,;
当时,.……………………………………………(6分)
(Ⅱ)当时,,此时不存在正整数n,使得;
当时,
.
由,得,解得.
故的最大值为1006.…………………………………………………(12分)
19.解:
设.以D为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标:
,,,,,,,,
.
(Ⅰ)因为,,
所以.
所以.………………………………………(4分)
(Ⅱ)因为,
所以当取得最大值时,三棱锥的体积取得最大值.
因为,
所以当时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥B1-BEF的体积取得最大值,此时E,F坐标分别为,.
设平面的法向量为,
则得
取,得.显然底面的法向量为.
设二面角的平面角为,由题意知为锐角.
因为,所以,于是.
所以,即二面角的正切值为.………………………………(12分)
20.解:
(Ⅰ)设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”,A2表示事件“日车流量低于5万辆”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”.则
P(A1)=0.35+0.25+0.10=0.70,P(A2)=0.05,
所以P(B)=0.7×
0.7×
0.05×
2=0.049.…………………………………………………(6分)
(Ⅱ)可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为
,,
,.
X的分布列为
X
1
2
P
0.027
0.189
0.441
0.343
因为X~B(3,0.7),所以期望E(X)=3×
0.7=2.1.……………………………………………(12分)
21.解:
(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2.
所以椭圆C的标准方程是.…………………………………………………(4分)
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可得,F点的坐标是(2,0).
设直线PQ的方程为x=my+2,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>
0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.于是x1+x2=m(y1+y2)+4=.
设M为PQ的中点,则M点的坐标为.
因为,所以直线FT的斜率为,其方程为.
当时,,所以点的坐标为,
此时直线OT的斜率为,其方程为.
将M点的坐标为代入,得.
解得.………………………………………………(8分)
(ⅱ)由(ⅰ)知T为直线上任意一点可得,点T点的坐标为.
于是,
所以
当且仅当m2+1=,即m=±
1时,等号成立,此时取得最小值.
故当最小时,T点的坐标是(3,1)或(3,-1).………………………………………………(14分)
22.解:
(Ⅰ)由,得.
又,所以.所以,.
由,得.
所以函数在区间上单调递减,在上单调递增.……………………(4分)
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知.
所以,即,.
令,则.
所以在上单调递增,所以,即.…………(8分)
(Ⅲ)首先证明:
当时,恒有.
证明如下:
由(Ⅱ)知,当时,,所以,所以在上单调递增,
所以,所以.
依次取,代入上式,则
,
以上各式相加,有
所以,
所以,即.………(14分)
另解:
用数学归纳法证明(略)
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