1819 第2章 23 232 双曲线的几何性质Word文档格式.docx
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A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:
线段A1A2,长:
2a;
虚轴:
线段B1B2,长:
2b;
实半轴长:
a,虚半轴长:
b
离心率
e=∈(1,+∞)
渐近线
y=±
x
判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)双曲线是轴对称图形,也是中心对称图形.( )
(2)在双曲线中,实轴长,虚轴长分别为a,b.( )
(3)双曲线的渐近线方程为y=±
x.( )
(4)离心率e越大,其渐近线斜率的绝对值越大.( )
(5)在双曲线-y2=1中,x的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).( )
[解析]
(1)正确.
(2)错误.因为实轴长为2a,虚轴长为2b.
(3)错误.当焦点在y轴上时,渐近线是y=±
x.
(4)错误.e=,e越大,只能说明的绝对值越大.
(5)正确.
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
教材整理2 等轴双曲线
阅读教材P45倒数第八行以上内容,完成下列问题.
1.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
2.性质:
(1)等轴双曲线的离心率e=;
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y=±
x,它们互相垂直.
填空:
(1)双曲线x2-y2=-2的渐近线为________.
(2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为________.
(3)等轴双曲线x2-y2=4的焦点坐标为________.
[解析]
(1)x2-y2=-2为等轴双曲线,则渐近线方程为y=±
x,即x±
y=0.
(2)设等轴双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),把(2,3)代入可得λ=22-32=-5,
∴方程为x2-y2=-5,即-=1.
(3)方程可化为-=1,
∴c=2,焦点为(±
2,0).
[答案]
(1)x±
y=0
(2)-=1 (3)(±
2,0)
[合作探究·
攻重难]
由双曲线的方程求其几何性质
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.
【导学号:
71392081】
[精彩点拨] 本题给出的方程不是标准方程,应先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量a,b,c即可得解,注意确定焦点所在坐标轴.
[自主解答] 将9y2-4x2=-36变形为-=1,
即-=1,
所以a=3,b=2,c=,
因此顶点坐标A1(-3,0),A2(3,0),
焦点坐标F1(-,0),F2(,0),
实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
离心率e==,
渐近线方程为y=±
x=±
作草图,如图所示:
[名师指津] 用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为:
(1)将双曲线方程化为标准方程形式;
(2)判断焦点的位置;
(3)写出a2与b2的值;
(4)写出双曲线的几何性质.
[再练一题]
1.求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率.
[解] 将方程x2-3y2+12=0化为标准方程为-=1,
∴a2=4,b2=12,∴a=2,b=2,∴c===4,
∴双曲线的实轴长2a=4,虚轴长2b=4,焦点坐标为F1(0,-4),F2(0,4),顶点坐标为A1(0,-2),A2(0,2),渐近线方程为y=±
x,离心率e=2.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±
x;
(2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2).
[精彩点拨] 利用待定系数法,当渐近线方程已知时,可利用双曲线设出方程进行求解.
[自主解答]
(1)设以直线y=±
x为渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),
当λ>
0时,a2=4λ,∴2a=2=6⇒λ=.
当λ<
0时,a2=-9λ,∴2a=2=6⇒λ=-1.
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),
将点(2,-2)代入双曲线方程,得λ=-(-2)2=-2.
∴双曲线的标准方程为-=1.
[名师指津] 双曲线方程的求解方法
(1)根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时,一般采用待定系数法,首先要根据题目中给出的条件,确定焦点所在的位置,然后设出标准方程的形式,找出a,b,c的关系,列出方程求值,从而得到双曲线的标准方程.
(2)以y=±
x为渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0),以此求双曲线方程可避免分类讨论.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;
(2)渐近线方程为y=±
x,且经过点A(2,-3).
[解]
(1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又=,
∴a=5,b==12,故其标准方程为-=1.
(2)法一:
∵双曲线的渐近线方程为y=±
x,
若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>
0,b>
0),则=.
∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1.②
由①②联立,无解.
若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>
0),则=.③
∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1.④
由③④联立,解得a2=8,b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
法二:
由双曲线的渐近线方程为y=±
x,可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0).
∵A(2,-3)在双曲线上,
∴-(-3)2=λ,即λ=-8.
求双曲线的离心率及其取值范围
(1)设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°
,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________.
71392082】
(2)已知双曲线-=1(a>
0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,求双曲线离心率的取值范围.
[精彩点拨]
(1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系,求出离心率;
(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系,因为过点F且倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则必有≥tan60°
.
[自主解答]
(1)由题意2c=AB=BC,
∴AC=2×
2c×
sin60°
=2c,
由双曲线的定义,
有2a=AC-BC=2c-2c⇒a=(-1)c,
∴e===.
[答案]
(2)因为双曲线渐近线的斜率为k=,
直线的斜率为k=tan60°
=,故有≥,
所以e==≥=2,
所以所求离心率的取值范围是[2,+∞).
[名师指津]
1.求双曲线的离心率就是求a和c的关系,一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a,b,c三者中两者的关系,进而利用c2=a2+b2进行转化.
2.求双曲线离心率的取值范围,一般可以从以下几个方面考虑:
(1)与已知范围联系,通过求值域或解不等式来完成.
(2)通过判别式Δ>
0来构造.(3)利用点在双曲线内部形成不等关系.(4)利用解析式的特征,如c>
a,或c>
b.
3.已知F1,F2是双曲线-=1(a>
0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°
,求双曲线的离心率.
[解] 设F1(c,0),将x=c代入双曲线的方程得-=1,那么y=±
由PF2=QF2,∠PF2Q=90°
,
知PF1=F1F2,
∴=2c,∴b2=2ac,
∴c2-2ac-a2=0,∴-2×
-1=0,
即e2-2e-1=0.
∴e=1+或e=1-(舍去).
所以所求双曲线的离心率为1+.
直线与双曲线的位置关系
[探究问题]
1.直线与双曲线有几种位置关系?
交点个数怎样?
直线与双曲线的交点个数能否用判别式来判断?
[提示] 三种位置关系:
相交——两个或一个交点;
相切——一个交点;
相离——没有交点.当判断交点个数时,要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断.
2.过双曲线上一点存在几条直线,使该直线与双曲线有且只有一个交点?
解决这种问题应注意什么?
[提示] 过双曲线上一点存在三条直线,使该直线与双曲线有且只有一个交点,一条是切线,两条是分别与渐近线平行的直线.解决这种问题时,应注意直线与渐近线平行的情况.
3.在双曲线中,直线与双曲线相交会有几种情况,如何求弦长?
[提示] 直线与双曲线相交时,两交点可能在两支上,也可能在同一支上.弦长公式为P1P2=·
|x1-x2|或|y1-y2|.
设双曲线C:
-y2=1(a>
0)与直线l:
x+y=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率的取值范围.
71392083】
[精彩点拨] 把双曲线方程和直线方程联立,得到一元二次方程,利用Δ>0可得a的取值范围,进而可求离心率的取值范围.
[自主解答] 由C与l相交于两个不同点,故知方程组有两组不同的实根,
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
所以解得0<
a<
且a≠1.
双曲线的离心率e==,因为0<
所以e>
且e≠.
即离心率e的取值范围为∪(,+∞).
1.把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的交点;
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
2.直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
3.直线与双曲线相交应考虑交在同一支上,还是交在两支上,可用直线的斜率与渐近线斜率比较.对于实轴在x轴上的双曲线,若|k|>
,则交在同一支上;
若|k|<
,则交在两支上.若直线过焦点,则可考虑用双曲线的定义.
4.已知双曲线x2-=1,问当直线l的斜率k为何值时,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点.
[解] ①当直线l的斜率不存在时,
直线l:
x=1与双曲线相切,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=k(x-1)+1,
代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.
当4-k2=0,即k=±
2时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线l与双曲线只有一个公共点.
当4-k2≠0时,令Δ=0,得k=.
综上可知,当k=或k=±
2或直线l的斜率不存在时,过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点.
[当堂达标·
固双基]
1.双曲线-=1的渐近线方程是________.
[解析] 由双曲线的方程,易知a=2,b=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±
[答案] y=±
2.已知双曲线-=1(a>
0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为________.
[解析] 因为渐近线方程为y=x,所以=,
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- 1819 第2章 23 232 双曲线的几何性质 双曲线 几何 性质