合理构造函数解导数问题Word下载.docx

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又g

10,

g

X00,0

X0

当0

xX0时，g

0,所以gx

在0x

X0上递减；

当X。

x1时，g

0,所以x。

x1上递增；

1时，gx

0,所以gx在x

1上递减；

又当

x时，g

.2

3

1

gx

xlnxx

xInxx

xx

Inx-

4

0时，Inx

-

0,则gx

0,且g1

0.

b的取值围为

一阶导数草图

6x

，gx

Inx

2.23

2x3x，gxxInxxx

方法二、

构造:

2x

2x2

2x1x1

从而Gx在0,1上为增函数;

1,G

分析点评：

第（

0,从而Gx在1,

上为减函数

3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

（08、、理）已知函数f（x）_+aln（x—1）,其中n是正整数,

（1x）

a是常数，若a_1时,

求证：

当x>

2时，f（x）<

x—1.

证法一：

当a=1时,

f（x）

—（1

—n+ln（x—1）,构造函数F（x）—（xx）

—1）—f（x），下证：

当

x>

时,

F（x）_（x—1）—k-ln（x-1）>

恒成立.

n

n1

x）

x2—A（x>

2）.

1若n为偶数，：

x》2,「.‘$0,1—xv—1v0,（1—x）1v0,

x1

所以：

2时，F'

（x）>

0.「.F（x）min=F

（2）=（2—1）—'

—ln（2

（〔一2）

—1）=0,所以：

2，且n为偶数时,F（x）=（x—1）—J—ln（x

—1）»

②若n为奇数'

要证書+ln（x-1）<

x-1，-x>

2「占v

0，所以只需证：

ln（x—1）<

x—1（下略）.

小结2:

含有正整数“n”的表达式的符号、数值判断，“对n分奇、偶讨论”是一种重要的方法.在数列中运用很多.

证法二：

t当x>

2时，<

1，二只需要证明1+ln（x—1）<

x—

1.构造函数F（x）=（x—1）—[1+ln（x—1）]，即F（x）=x—2—ln（x—1），则F'

（x）=U（下略）.

小结3:

证法一是直接作“差函数”（直接构造新函数），然后分奇、偶讨论；

证法二是先适当放缩，然后构造新函数.解题时，要有敏锐的观察力.

2.变形与整理

直接构造新函数F（x）=f（x）—g（x），来证明函数不等式f（x）>

g（x）

时，目标是：

F（a）min»

，从而F（x）»

，所以：

f（x）>

g（x）.但常常会出现下列

几种异常情况：

①F'

（x）的符号无法判断，【F'

（x）的符号-F（x）的单调性-F（x）的极值】从而F（x）的极值无法求出；

②虽然F（x）的极值能够求出，但极值是关于参数a的表达式F（a）,无法判断极值F（a）是大于0,还是小于0;

③直接构造的新函数F（x）=f（x）—g（x），其导函数F（x）非常复杂或根本无法求出.出现这种异常情况，表明所构造的新函数F（x），不适当.这时，需要对“函数不等式”重新整理后，再构造新函数F（x）,如题2.注意下面的题目的求解方法.

那么怎样合理构造函数呢?

（1）抓住问题的实质，化简函数

1、已知fx是二次函数，不等式fx0的解集是0,5，且fx在区间1,4上的最

大值12.

（1）求fx的解析式；

实数根？

若存在，求出所有m的值；

若不存在，请说明理由。

解:

（1）y2x10xxR

32

2x10x37

画图分析:

进而检验，知h（3）0,h（）0,h（4）0,所以存在实数m3使得fx0在区间

3x

3,4有且只有两个不等的实数根。

点评：

本题关键是构造了函数hx2x310x237，舍弃了原函数中分母X,问题得到了

简化。

变式练习：

设函数fxx6x5,xR，求已知当x1,时，fxkx1恒成立，数k的取值围。

24•已知函数f（x）1x2alnx（aR）.

（I）求函数f（x）的单调区间;

12

（n）求证：

x时,2xlnx

数f（x）的单调递减区间为（0,a）.

Q当x1时，g（x）（x1）（汰x"

0,

lnx2x3。

（I）

（n）

求f（x）的单调增区间;

（出）

a1时，在区间［1,

+g）上，函数f（x）的图象总在函数

g（x）彳x3的

图象的下方.

（I）当a1时，f（x）x

，x1,e时，f（x）0，故f（x）在［1，e］上

是增函数.

11

...f（x）maX=f（e）=1e2+1；

f（x）min=f

（1）=1

为（0,）；

a<

0时，增区间为（0,J——）。

\a

（III）设F（x）=x2+lnx—x3，则F（x）=x+

23

1，二F（x）V0，故F（x）在［1,+門上是减函数,

1c2（1x）（1x2x2）•

-—2x2=.•

又F

（1）=—-V0，二在［1,+6

X］上，有F（x）V0,即一x2+lnxVx3

故函数f（x）的图象在函数g（x）

=—x3的图

象的下方.

（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题:

设gx

nmx-

2lnx.

（1）

0恒成立；

（2）

试讨论关于

x的方程mx

x2ex

tx根的个数。

解证：

（

（1）mn

（2）方程mxgx

3x

2ex2

tx,从而

2lnxx32ex2tx

因为x

0,所以方程可变为

2lnx

x22ex

t.

例：

已知函数fxnlnx的图像在点P（m,fm）处的切线方程为yx,

2lnx

c1

lnx

令L

Hxx2ext，得：

Lx

2——

0,e时，

Lx0,Lx在0,e上为增函数；

当xe,时，Lx0,Lx在xe,上为减函数;

当xe时，LxmaxL（e），

e

22.2

又Hxx2extxete,

所以函数Lx,Hx在同一坐标系的大致图像如图所示

222

-时，方程无解；

—时，方程一解；

-时，方程有2个根。

当te2,即te2

2当te,即te

3当te,即te

一次函数，二次函数，指对数函数，幕函数，简单的分式根式函数，绝对值函数

的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配

就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。

v-vi<

3已知平面向量a=（3,-1）.b=（,）.

22

（1）证明a丄b;

vvvvvvvv

（2）若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+（t2-3）b,y=-ka+tb,x丄y，试

求函数关系式k=f（t）;

（3）据⑵的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况.

vv厂1J3vv

解答：

⑴Tab=.3X—+（-1）x-=0Z.a丄b.

vvvvvvvv

（2）vx丄y，二xy=0即[a+（t2-3）b]•（a+tb）=0.

v2vvv2

整理后得-ka+[t-k（t2-3）]ab+t（t2-3）b=0

vvV2V2

Tab=0,a=4,b=1,

•••上式化为-4k+t（t2-3）=o，即k=—t（t2-3）

⑶讨论方程一t（t2-3）-k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2-3）与直线y=k

44

的交点个数.

13

于是f'

⑴才2-1）=严恥1）.

令f'

（t）=0,解得1,t2=1.当t变化时，f'

f（t）的、变化情况如下表:

t

（-3-1）

-1

（-1,1）

（1,+3）

厂⑴

+

F（t）

/

极大值

极小值

当t=-1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=.

当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值二.

函数f（t）=-t（t2-3）的图象如图13—2-1所示,

可观察出：

（1）当k>

或kV-—时，方程f（t）-k=0有且只有一解;

⑵当k=或k=-时，方程f（t）-k=0有两解；

（3）当-一vkv时,方程f（t）-k=0有三解.

【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。

（3）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。