一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法1Word文档下载推荐.docx
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我们知道,约当标准型T4AT的形式与矩阵A的特征方程
a11一人
a12
川am
det(A-2-E)=
a21
+
a22—h
V
F
川a2n
4
=0
an1
an2
HIann-丸
的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵
A的特征根.
下面分两种情况讨论•
(一)矩阵A的特征根均是单根的情形
设特征根为'
i,'
2,lH,'
n,这时
方程组(3.20)变为
电]
|dz2
dZn
-dx_
(3.23)
易见方程组(3.23)有n个解
把这n个解代回变换(3.21)之中,便得到方程组(3.20)的n个解
r.t.r.
(i=12川,n)
Y(x)二e"
?
玄气
I+
」ni-
这里T是矩阵T第i列向量,它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量,并且由线性方程组
因为
(A-iE)Ti=0所确定.容易看出,Y1(x),Y2(x),川,Yn(x)构成(3.20)的一个基本解组,
它们的朗斯基行列式W(x)在x=0时为W(0)=detT=0.于是我们得到
定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异,且
人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量,则
¥
(x)二eixTi,Y2(x)=e2工川|,Yn(x)=e%
是方程组(3.20)的一个基本解组
例1试求方程组
dxdt
化—x+5y-z
dt
y3z
dz
x-
的通解.
解它的系数矩阵是
3-11
A=-15-1
3-13_
特征方程是
1
-1=0
3—扎
3_九_1
det(A_丸E)=-15—九
3-1
32
-11•36'
;
—36=0
所以矩阵A的特征根为■1=2,乜=3,九3=6.先求九1=2对应的特征向量
a,b,c满足方程
a「bc=0
*—a+3b_c=0
a-b+c=0
故方程组的通解是
(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根
Y(x)=e〃Ti,场⑴“工
其中壬兀是特征向量,这是实变量的复值解,通常我们希望求出方程组(3.20)的实
值解,这可由下述方法实现.
定理3.12如果实系数线性齐次方程组
有复值解Y(x)=U(x)iV(x)其中U(x)与V(x)都是实向量函数,则其实部和虚部
M(X)
证明因为Y(x)=U(x)•iV(x)是方程组(3.8)的解,所以
jx)iV(x)卜叫©
i也x)
dxdxdx
三A(x)[U(x)iV(x)]三A(x)U(x)iA(x)V(x)
由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等,所以上述恒等式表明:
dU^=A(x)U(x),dV^=A(x)V(x)
dxdx
即U(x),V(x)都是方程组(3.8)的解证毕.
定理3.13如果^(x),Y2(x)^|,Yn(x)是区间(a,b)上的n个线性无关的向量函数,
d,b2是两个不等于零的常数,则向量函数组
dM(x)%(x)],b2“(x)-Y2(x)],Y3(x),川,Yn(x)(3.24)
在区间(a,b)上仍是线性无关的.
证明(反证法)如果(3.24)线性相关,那么依定义3.1存在n个不全为零的常数
C1,C2Jh,Cn,使得对区间(a,b)上的所有x皆有
Gbi[Y(x)+Y2(x)]+C2b2【Y(x)-丫2(刃]+C30X)+川+C"
n(x)三0
所以
(Gbi+C2b2)丫(x)+(Gbi-C2b2)丫2(X)+。
3丫3(口+川+Cn=(X)三0
因为丫(x),丫2(x)川IM(x)线性无关,从而
C1b1C2b2=0,Gb|-C2b2=0,C3=0,1|l,Cn=0
从上式可知,C1bi=C2b2=0,因为bi,b2=0,故G=C2=0•即所有常数G,C2,IH,Cn都
等于零,矛盾•证毕.
由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现•即,如果’=aib是特征
根,则其共轭’二a-ib也是特征根•由定理3.11,方程组(3.20)对应于’=aib的复值解
形式是
这里T1是对应于,二aib的特征向量•由于矩阵A是实的,所以上述向量的共轭向量是方
程组(3.20)对应于特征根「=a-ib的解,记作Y2(x)=由加工,T2.现将上述两个
复值解,按下述方法分别取其实部和虚部为
Yi(x)Y2(x)]
t11cosbx-112sinbxaxt21cosbx—122sinbx
e:
II
tn1cosbx-tn2sinbx
和丫1(x)-丫2(x)]=
t12cosbxt11sinbxaxt22cosbxt21sinbxe:
_tn2cosbxtn1sinbx
由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解,并且由此得到的n个解仍组成基本解组.
例2求解方程组
一=x_y_zdt
解它的系数矩阵为
1—1-1
A=110
■301j
1—&
-1-1
det(A—)=11一九0
301-丸
即
(,一1)(2一2「5)=0
特征根为
加=1,丸2,3=1±
2i
先求'
^1对应的特征向量为
■01
「=1
T」
再求-12i所对应的特征向量T2.它应满足方程组
]「2i-1
(A—(1+2i)E)T2=1-2i
'
30
_2ia-b-c=0
a-2bi=0
3a-2ci二0
用2i乘上述第一个方程两端,得
4a-2bi-2ci=0
3a-2ci=0
显见,第一个方程等于第二与第三个方程之和•故上述方程组中仅有两个方程是独立的,即
a-2bi=0
3a-2ci=0
L
求它的一个非零解•不妨令a=2i,则b=1,c=3.于是2i对应的解是
一2门
「-2sin2t[
"
2cos2t]
e(H2i)t
=d(cos2t+isin2t)
t
=e
cos2t
+iet
sin2t
-
3一
ii
1-
3cos2t
1〕
3sin2t一
故原方程组的通解为
(三)矩阵A的特征根有重根的情形
由定理3.11,我们已经知道,当方程组(3.20)的系数矩阵A的特征根均是单根时,其基
本解组的求解问题,归结到求这些特征根所对应的特征向量•然而,当矩阵A的特征方程
有重根时,定理3.11不一定完全适用,这是因为,若■i是A的ki重特征根,则由齐次线
性方程组
(A-iE)Ti二0
所决定的线性无关特征向量的个数i,一般将小于或等于特征根、的重数ki.若i=ki,那
么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵,其求解方法与iK,由线性代数的知识,此时
也可以求出ki个线性无关的特征向量,通常称为广义特征向量,以这些特征向量作为满秩矩
阵T的列向量,可将矩阵A化成若当标准型
T-1AT二
J2
h
q
Jm
其中未标出符号的部分均为零无素,而
「站10【
J严.彳(i=12lH,m)
\1
此相同.
Jm
根据(3.25)的形式,它可以分解成为m个可以求解的小方程组•
为了说清楚这个问题,我们通过一个具体重根的例子,说明在重根情形下方程组(3.20)
的基本解组所应具有的结构•对于一般情形,其推导是相似的
设方程组
(3.26)
dY=ay
Dx
中A是5.5矩阵,经非奇异线性变换Y=TZ其中T=(tij)(i,j=1,2,II丨,5)且detT-0,
将方程组(3.26)化为
dZ
JZ(3.27)
我们假定
■1
「°
■2
这时,方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组
也、
=上1z*i+Z2dx
dz2
dz3
(3.28)
人Z3
dz4
一二’2Z4-Z5dx
dz5
(3.29)
在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得
z^=C3x2C2xC1
2!
21
Z2=(C3x+C2)e"
Z3二C3e1X
同样对(3.29)可解得
Z4=(C5XC4)e'
2x
Z5二C5e护
这里G,C2,III,C5是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现乙,Z5,在(3.29)中不出现
Z|,Z2,Z3•我们依次取
G=1,C2=C3=C4=C5=0
Ci=0,C2=1,C3=C4=C5=0
Ci=C2=0,C3=1,C^=C5=0
Ci=C2=C3=0,C4=1,C5=0
Ci=C2=C3=C4=0,C5=1
可以得到方程组(3.27)的五个解如下
从而
是方程组(3.27)的一个解矩阵.又
detZ(0)=i=0,
所以(3.3i)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵•而(3.30)是(3.27)的一个基本解组•现在把(3.30)
的每个解分别代入到线性变换Y=TZ中可得原方程组(3.26)的五个解,
tie巧
(ti-x+td/
t2ie沁
住必+上2)eix
t“e淤
,Y2=
(t3ix+t3)e"
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