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余数:
(1)余数=1,结论:
至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里
(2)余数=x1Y:
xYn-1,结论:
至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里
(3)余数=0,结论:
至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
(二)、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单,也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.
知识精讲
模块一、利用抽屉原理公式解题
(一)、直接利用公式进行解题
(1)求结论
【例1】6只鸽子要飞进5个笼子,每个笼子里都必须有1只,一定有一个笼子里有2只鸽子•对吗?
【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面,请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.
【巩固】
教室里有5名学生正在做作业,现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明:
这5名学
生中,至少有两个人在做同一科作业.
年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说:
“你们这个小组至少有2个人在同一月过生
日•”你知道张老师为什么这样说吗?
数学兴趣小组有13个学生,请你说明:
在这13个同学中,至少有两个同学属相一样.
光明小学有367名2000年出生的学生,请问是否有生日相冋的学生?
用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色),请你说明:
至少会有两个面涂色相冋.
【例2】
向阳小学有730个学生,问:
至少有几个学生的生日是冋一天?
试说明400人中至少有两个人的生日相同.
【例3】
三个小朋友在一起玩,其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.
【例4】
“六一”儿童节,很多小朋友到公园游玩,在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明:
在游园的小朋友中,至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.
五年级数学小组共有20名冋学,他们在数学小组中都有一些朋友,请你说明:
至少有两名冋学,
他们的朋友人数一样多.
【例5】
在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?
【巩固】四个连续的自然数分别被3除后,必有两个余数相同,请说明理由.
【巩固】证明:
任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。
【巩固】(第八届《小数报》数学竞赛决赛)将全体自然数按照它们个位数字可分为10类:
个位数字是
1的为第1类,个位数字是2的为第2类,…,个位数字是9的为第9类,个位数字是0的为第10类.
(1)任意取出6个互不同类的自然数,其中一定有2个数的和是10的倍数吗?
(2)任意取出7个互不同类的自然数,其中一定有2个数的和是10的倍数吗?
如果一定,请煎药说明
理由;
如果不一定,请举出一个反例.
任给12个不同的两位数,其中一定存在着这样的两个数,它们的差是个位与十位数字相同的两位数.
【例7】任给11个数,其中必有6个数,它们的和是6的倍数.
【巩固】在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数?
【例8】任意给定2008个自然数,证明:
其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独一个数也当做
和).
【巩固】20道复习题,小明在两周内做完,每天至少做一道题•证明:
小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目.
【例9】求证:
可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数.
【巩固】任意给定一个正整数n,—定可以将它乘以适当的整数,使得乘积是完全由0和7组成的数.
【例10】求证:
对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数.
【巩固】任给六个数字,一定可以通过加、减、乘、除、括号,将这六个数组成一个算式,使其得数为
105的倍数.
【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛决赛
(一)在100张卡片上不重复地编上1~100,至少要随意
抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除?
【例11】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈,求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17.
【巩固】圆周上有2000个点,在其上任意地标上0,1,2,|||,1999(每一点只标一个数,不同的点标上不同
的数).证明必然存在一点,与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999
【例12】证明:
在任意的6个人中必有3个人,他们或者相互认识,或者相互不认识.
【巩固】平面上给定6个点,没有3个点在一条直线上•证明:
用这些点做顶点所组成的一切三角形中,一定有一个三角形,它的最大边同时是另外一个三角形的最小边.
【巩固】假设在一个平面上有任意六个点,无三点共线,每两点用红色或蓝色的线段连起来,都连好后,问你能不能找到一个由这些线构成的三角形,使三角形的三边同色?
【巩固】平面上有17个点,两两连线,每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种,这些线段能构成若干
个三角形•证明:
一定有一个三角形三边的颜色相同.
【例13】上体育课时,21名男、女学生排成3行7列的队形做操•老师是否总能从队形中划出一个长方形,使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生,或者都是女生?
如果能,请说明理由;
如果不能,请举出实例.
【例14】8个学生解8道题目.
(1)若每道题至少被5人解出,请说明可以找到两个学生,每道题至少被过两个学生中的一个解出.
(2)如果每道题只有4个学生解出,那么
(1)的结论一般不成立.试
构造一个例子说明这点•
【巩固】试卷上共有4道选择题,每题有3个可供选择的答案•一群学生参加考试,结果是对于其中任何3人,都有一个题目的答案互不相同•问参加考试的学生最多有多少人?
(2)求抽屉
【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里,才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔?
【例16】把125本书分给五⑵班的学生,如果其中至少有一个人分到至少4本书,那么,这个班最多有
多少人?
【巩固】某次选拔考试,共有1123名同学参加,小明说:
“至少有10名同学来自同一个学校.”如果他的说法是正确的,那么最多有多少个学校参加了这次入学考试?
【巩固】100个苹果最多分给多少个学生,能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.
【例17】某班有16名学生,每个月教师把学生分成两个小组•问最少要经过几个月,才能使该班的任意
两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
(3)求苹果
【例18】班上有50名小朋友,老师至少拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书?
【巩固】班上有28名小朋友,老师至少拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书?
【巩固】有10只鸽笼,为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子.请问:
至少需要有几只鸽子?
【巩固】三年级二班有43名同学,班上的“图书角”至少要准备多少本课外书,才能保证有的同学可以同时借两本书?
【例19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数,并且在140厘米到150厘米之间(包括140厘米到
150厘米),那么,至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同?
【例20】一次数学竞赛出了10道选择题,评分标准为:
基础分10分,每道题答对得3分,答错扣1分,不答不得分。
问:
要保证至少有4人得分相同,至少需要多少人参加竞赛?
(第十届《小数报》数学竞赛决赛)一次测验共有10道问答题,每题的评分标准是:
回答完全
正确,得5分;
回答不完全正确,得3分,回答完全错误或不回答,得0分.至少人参加
这次测验,才能保证至少有3人得得分相同.
(二八构造抽屉利用公式进行解题
【例21】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个,小聪明和其他六个小朋友一起做游戏,每人可以从口袋中随意取出2个球,那么不管怎样挑选,总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样•你能说明这是为什么吗?
【巩固】在一只口袋中有红色与黄色球各4只,现有4个小朋友,每人从口袋中任意取出2个小球,请
你证明:
必有两个小朋友,他们取出的两个球的颜色完全一样.
【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子,现有若干个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的?
【巩固】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本,规定每位同学可以借阅其中两本,现有4位小朋友
前来借阅,每人都借了2本•请问,你能保证,他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗?
【巩固】11名学生到老师家借书,老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本•试说明:
必有两个学生所借的书的类型相同
【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,但不能是同样的,问:
至少有多少个小朋友去拿,才能保证有两人所拿玩具相同?
【巩固】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球,有66个同学来仓库拿球,要求每个人至少拿一个,
最多拿两个球,问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的?
【巩固】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件不同的,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的?
(见下图),每个小方格涂一种颜色.是
【例22】红、蓝两种颜色将一个25方格图中的小方格随意涂色否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?
第一行
第二行
【例23】将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色.(每一列的三小格涂的颜色不相同),不论如何涂色,
其中至少有两列,它们的涂色方式相同,你同意吗?
【例24】从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数,才能保证有2个数的和是52?
在从1开始的前10个奇数中任取6个,一定有2个数的和是20.
【巩固】从1,4,7,10,…,37,40这14个数中任取8个数,试证:
其中至少有2个数的和是41.
【巩固】从1,2,3,,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定有两个数的
差为50。
【巩固】请证明:
在1,4,7,10,…,100中任选20个数,其中至少有不同的两组数其和都等于104.
【巩固】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12.
【巩固】(小学数学奥林匹克决赛
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- 关 键 词:
- 抽屉 原理