知识讲解导数的应用二函数的极值基础Word格式文档下载.docx
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③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
④函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
用导数求函数极值的的基本步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)求方程的根;
(4)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;
如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3,在x=0处,,但x=0不是函数的极值点.
②可导函数在点取得极值的充要条件是,且在两侧的符号相异。
要点二:
函数的最值
函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;
在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得;
②函数的极值可以有多个,但最值只有一个.
求函数最值的的基本步骤:
若函数在闭区间有定义,在开区间内有导数,则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下:
(1)求函数在内的导数;
(2)求方程在内的根;
(3)求在内所有使的点的函数值及在闭区间端点处的函数值,;
(4)比较上面所求的值,其中最大者为函数在闭区间上的最大值,最小者为函数在闭区间上的最小值.
①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可;
②若在开区间内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值.
最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的(具有绝对性),是整个定义域上的整体性概念.最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值;
最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的(具有相对性),是局部的概念;
②极值可以有多个,最大(小)值若存在只有一个;
极值只能在区间内取得,不能在区间端点取得;
最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值;
③有极值的函数不一定有最值,有最值的函数未必有极值,极值可能成为最值.
要点三:
函数极值与最值的简单应用
不等式恒成立,求参数范围问题
一些含参不等式,一般形如,
若能隔离参数,即可化为:
的形式.若其恒成立,则可转化成,从而转化为求函数的最值问题.
若不能隔离参数,就是求含参函数的最小值,使.所以仍为求函数的最值问题,只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论.
证不等式问题
当所要证的不等式中只含一个未知数时,一般形式为,则可化为,一般设,然后求的最小值,证即可.所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题.
两曲线的交点个数问题(方程解的个数问题)
一般可转化为方程的问题,即的解的个数问题,
我们可以设,然后求出的极大值、极小值,根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可.所以此类问题可转化为求函数的极值问题.
【典型例题】
类型一:
求函数的极值
例1.下列函数的极值:
(1);
(2).
【解析】
(1)函数的定义域为R,
,
令,得x=-2或x=2,
当x变化时,,变化状态如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
-
极大值
极小值
从上表可以看出,当x=―2时,函数有极大值,且;
当x=2时,函数有极小值,且.
(2)函数的定义域为R,
令,得x=0或x=2,
(-∞,0)
(0,2)
+
极小值0
极大值4e-2
由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且;
当x=2时,函数有极大值,且.
【总结升华】解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件,如果再加上左右导数的符号相反,方能断定函数在处取得极值.在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误,要注意.
举一反三:
【高清课堂:
函数的极值与最值370875例题1】
【变式1】讨论函数()的单调性并求极值.
令,解得x1=0,x2=,x3=2。
(0,)
(,2)
1
由上表可以看出,在(-∞,0)和(,2)上为减函数,在(0,)和(2,+∞)上
为增函数,
当x=0时,函数有极小值;
当x=2时,函数有极小值;
当x=时,函数有极大值.
函数的极值与最值370875例题3】
【变式2】函数的定义域为区间(a,b),导函数在(a,b)内的图如图所示,则函数在(a,b)内的极小值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】由极小值的定义,只有点B是函数的极小值点,故选A.
类型二:
函数极值的逆向应用
例2.已知函数在点处取得极大值5,其导函数
的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:
(1)的值;
(2)a,b,c的值。
【思路点拨】观察导函数的图象,判断原函数在区间上的单调性,从而确定极大值点及零点;
注意条件“在点处的极大值是5”的双重条件,即,.
【解析】
(1)由图象可知,在(―∞,1)上,在(1,2)上,在(2,+∞)上,
故在(-∞,1)和(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减,
因此在x=1处取得极大值,所以=1.
(2)方法一:
由,,,
得,解得.
方法二:
设.
又,所以,,c=2m,
,由,即,
得m=6,所以a=2,b=―9,c=12.
【总结升华】由导函数的图象求极值点,先看图象与x轴的交点,其次看这点左右两侧的导数值的正负.
【变式】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.
【答案】
依题意得方程组解得.
当a=-3,b=3时,
令得x=1.
(-∞,1)
(1,+∞)
↗
无极值
显然a=-3,b=3不合题意,舍去.
当a=4,b=-11时,f´
(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或x=1.
(1,+∞)
-
↘
f(x)在x=1处有极小值10,合题意,
∴a=4,b=-11.
类型三:
求函数的最值
函数的极值与最值370875例题2】
例3.求函数在区间[-1,2]上的最大值与最小值。
【解析】,
-1
-2
又,,
结合上表可知,当x=-1时,f(x)取最小值-2;
当x=0或2时,f(x)取最大值1.
∴函数在区间[-1,2]上的最大值为1,最小值为-2.
【总结升华】解题格式要求:
(1)对于分解因式,写出相应方程的根;
(2)列表格,表格反映出随的变化情况,必须列出极值点,若求最值时,还要列出端点的函数值;
(3)一般要注明x取何值时取得最大最小值.
【变式】求函数y=x4―2x2+5在区间[―2,2]上的最大值与最小值。
【答案】先求导数,得y'=4x3―4x。
令y'=0即4x3―4x=0,
解得x1=―1,x2=0,x3=1。
当x变化时,y',y的变化情况如下表:
(―2,―1)
-1
(-1,0)
(0,1)
(1,2)
y'
y
13
4
5
从上表知,当x=±
2时,函数有最大值13;
当x=±
1时,函数有最小值4。
例4.求函数,x∈[-3,2]的最值.
由得x=―1,0,1.
∵f(-3)=-60,f(-1)=f
(1)=4,f(0)=3,f
(2)=-5,
经比较可得:
当x=―3时,有最小值―60;
当x=―1时或1时,有最大值4.
【总结升华】当方法熟悉后,可以不再列表.也就是说在求函数的最值时,实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
【变式】求函数,x∈[0,2]的最值.
【答案】,令,
化简为x2+x―2=0,解得x1=―2(舍去),x2=1.
∵,又,,
∴为函数在[0,2]上的最小值,为函数在[0,2]上的最大值.
类型四:
函数的极值与最值的应用
例5.已知函数
(1)求函数在区间[1,]上的最大值、最小值;
(2)求证:
在区间(1,)上,函数图象在函数图象的下方.
(1)=,令,得,
当[1,]时,,则在区间[1,]上是增函数,
∴当时,有最小值;
当时,有最大值.
(2)设=,则,
∵,,
∴在区间(1,)上是减函数,
又∵,
∴,即,,
∴在区间(1,)上,函数图象在函数图象的下方.
【总结升华】利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式,在证明的过程中,首先要注意变量的取值范围,再正确地构造出函数,最后再求出函数的最值.
【变式】求证:
当x>0时,.
【答案】设,
,,则函数在上是单调增函数,
∴当x>0时,,
即x>0时,.
例6.已知函数,若在处取得极值,直线y=m与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
【思路点拨】先利用第一个条件求出函数式,注意到直线y=m是平行x轴的一条直线,再结合函数的单调性,易求出m的取值范围.
【解析】因为在处取得极大值,
所以
由解得.
由
(1)中的单调性可知,在处取得极大值,
在处取得极小值.
因为直线与函数的图象有三个
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- 知识 讲解 导数 应用 函数 极值 基础