二阶常微分方程的数值求解优质PPT.ppt
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b=2;
x=a:
h:
b;
y
(1)=1;
z
(1)=-1;
fori=1:
length(x)-1y(i+1)=y(i)+h*z(i);
z(i+1)=z(i)+h*y(i);
endplot(x,y,r+,x,exp(-x),k-);
xlabel(Variablex);
ylabel(Variabley);
Euler_sys1.m,数值解与真解如下图,例2:
利用4阶R-K方法求解例1,并与Euler方法进行比较。
解当h=0.1,即n=20时,R-K方法的Matlab源程序见RK_sys1.m,数值结果见下图,functionw=rightf_sys1(x,y,z)w=y;
Euler_y
(1)=1;
Euler_z
(1)=-1;
%初值RK_y
(1)=1;
RK_z
(1)=-1;
%初值fori=1:
length(x)-1%*EulerMethod*%Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);
Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*Euler_y(i);
%*R-K4Method*%K1=RK_z(i);
L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i);
%K1andL1K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;
rightf_sys1.m,RK_sys1.m,L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);
%K2andL2K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;
L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);
%K3andL3K4=RK_z(i)+h*L3;
L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);
%K4andL4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);
RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);
endplot(x,Euler_y,r+,x,exp(-x),k-,x,RK_y,b*);
例3:
分别用Euler法和R-K4求解如下初值问题,解:
当h=0.1,即n=20时,Matlab源程序见RK_sys2.m,数值结果如下图,functionw=rightf_sys2(x,y,z)w=-y+2*exp(-x)*(x-1);
Euler_z
(1)=1;
RK_y
(1)=1;
RK_z
(1)=1;
Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*rightf_sys2(x(i),Euler_y(i),Euler_z(i);
L1=rightf_sys2(x(i),RK_y(i),RK_z(i);
%K1andL1,rightf_sys1.m,RK_sys2.m,K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;
L2=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);
L3=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);
L4=rightf_sys2(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);
endplot(x,Euler_y,r+,x,cos(x)+x.*exp(-x),k-,x,RK_y,b*);
dsolve的调用格式,y=dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v),其中y为输出,eq1、eq2、.为微分方程,cond1、cond2、.为初值条件,v为自变量,如果不指定v作为自变量,则默认t为自变量。
例4:
求微分方程的通解,并验证。
y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x),symsx;
diff(y)+2*x*y-x*exp(-x2),利用dsolve函数求微分方程解析解,几点说明,如果省略初值条件,则表示求通解;
如果省略自变量,则默认自变量为t,dsolve(Dy=2*x,x);
dy/dx=2xdsolve(Dy=2*x);
dy/dt=2x,若找不到解析解,则返回其积分形式。
微分方程中用D表示对自变量的导数,如:
Dyy;
D2yy;
D3yy,例5:
求微分方程在初值条件下的特解,并画出解函数的图形。
y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y
(1)=2*exp
(1),x)ezplot(y);
例6,在Matlab中的命令窗口中输入下面的命令symsxyS=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x),则可以得到如下的结果S=4/3*cos(x)-1/3*cos(2*x),注意:
只有很少一部分微分方程(组)能求出解析解。
大部分微分方程(组)只能利用数值方法求数值解。
作业,利用Euler方法和R-K方法求解一个二阶常微分初值问题,并比较数值结果,计算数值解和解析解的误差。
利用dsolve函数求解一些微分方程的通解,
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