最新利用微积分证明不等式Word格式.docx
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(ⅱ)在开区间内可导,
则在内至少存在一点,使得
这里没有给出的确切位置,而对于不等式而言,也不必精确.因此可用中值定理证,这时的关键是选择及区间.
例1.1若,试证.
证设.
当时,在上满足拉格朗日中值定理,
所以,
而,
.
于是.
例1.2若x>
0,试证:
证设,
因在上满足拉格朗日中值定理,
又,
即.
利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点”,即来确定不等式关系,关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间.
2.利用函数的单调性证明不等式
函数的单调性,在微积分中用导数来判定.
定理2设函数在区间上可导,如果对任意的,恒有(或)则f(x)在内单调增加(或单调减少).
例2.1证明不等式,其中.
证(i)设.
当x>
0时,.
单调减少.
(ii)
当,
,.
例2.2证明:
证设.
.(无法判断的符号)
利用函数的单调性证明不等式时,首先要根据不等式构造函数,这是解题的关键.此时,只须证明或,而要证明或,首先求,判断还是再使用定理.
3.利用泰勒公式证明不等式
一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式(或麦克劳林公式).
定理3(泰勒定理)若函数f满足如下条件:
(i)在开区间上函数f存在直到n阶导数,
(ii)在闭区间上存在f的n+1阶导数,
则对任何,至少存在一点,使得
例3.1若在内,则对任意几个点,试证有不等式.
证将介在展开,,
有.
(1)
对
(1)式中分别取,得到=1,2,…n.
将上面的n个不等式两边分别相加得
,
例3.2设>
-1,证明(i)在,;
(ii)在a<
0或a>
1时,.
证设,.
则的麦克劳林展式为
介于0与之间.
即.
(2)
(i)时,
(2)式第三项非正.
(ii)在a<
1时,
(2)式第三项非负.
泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式,从而利用它的局部展开式证明不等式.
4.利用函数的凹凸性证明不等式
由定义及判别法有:
在某区间上凹(或下凹),也即
(或),
由此可证明一些不等式,特别是含两个或两个以上变元的.
例4.1已知,且.
试证:
证令,,.
例4.2证明:
证设,
,即.
5.利用积分知识证明不等式
性质1设在区间上都是可积函数,如果在区间上满足,则有.
例5.1求证.
证,
根据性质1,.
使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分,这时,只须比较这两个函数在区间上的大小,在利用定积分的性质.
性质2如果在上的最大值和最小值分别为和,
则.
例5.2已知在内连续,,设在区间内的最大值和最小值分别为,.试证:
证当时,由性质2得
.
又
结语:
高等数学中证明不等式的方法很多,利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法,进行了初步的思考与探究,并对运用某种方法给出了一定的结论.其实,对于一个不等式来说,可以用多种方法予以证明,对于一个学习数学的人来说,能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法,而利用微积分往往能让问题变的简单起来.
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:
高等教育出版社,1991.10.
[2]尹建华.利用微积分证明不等式[J].承德民办师专学报.2001,5.第21卷2期:
8-9.
[3]吴江.微积分在不等式证明中的应用[J].北京市计划劳动管理干部学院学报.2001.第9卷(3期):
44-46.
[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:
高等教育出版社,1992,7.
TheProveOfInequationByMeamsOfCalculousAndDifferential
YuJianShengTutor,WuXiao
Abstract:
Therearemanywaystoproveinequation.Itisasimplywaytousetheknowledge
ofcalculousanddifferentialtoproveinequation.Thispaperisadoptedsomeconcepts,theoremsofcalculousanddifferential,andtypicalexamples,andtheconclusiontoexploreandsummarizetheproveofinequationbymeansofusingcalculousisobtained.
Keywords:
inequation;
derivative;
calculous;
differential
毕业论文
3.在VisualFoxPro中,用于建立或修改过程文件的命令是________。
22.在SQL命令中,LIKE是字符串匹配运算符,其中通配符___________可表示0个或多个字符。
1.连续执行以下命令之后,最后一条命令的输出结果是________。
论文题目利用微积分证明不等式
院别数学与信息科学学院
ENDFOR专业数学与应用数学
年级2004级
学号200424011138
?
"
此字符串中含有的字母数为:
numa学生姓名余建生
settalkoff指导教师吴晓
完成时间2008年4月
【答案】事物之间的联系
35、相同点:
两个协议都分层;
OSI参考模型的网络层与TCP/IP互联网层的功能几乎相同;
以传输层为界,其上层都依赖传输层提供端到端的与网络环境无关的传输服务。
二、选择题(每题2分,共30分)
B.sum语文+数学+英语to总分
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