镜像法在电磁场中的应用.doc
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镜像法在电磁场中的应用
摘要
若在某区域内有一点电荷,并且边界的形状比较有规则,求解这一点电荷所激发的电场分布。
镜像法即为其中的一种方法,它将在边界所激发的电荷用一个或者多个的象电荷等效的替换,将复杂的边界问题转化为几个电荷共同作用产生场的迭加问题,即利用电势的迭加原理求解电场。
并将此推广到磁场中时,即可以将场的复杂问题转化为几个电流共同作用产生场的问题。
关键词:
镜像法;边值条件;静电场;电势叠加;轴对称非静态场
Abstract
Ifthereisonepointofaregionofcharge,andrelativelysimpleshapeoftheborder,wecansolvethispointtochargetheelectricfielddistributionexcitedimagemethodisamethodinwhichinspiredattheborderwiththechargeasanequivalentreplacementchargewillbethecomplexityofborderissuesintothecombinedeffectofseveralchargesarisingfromtheissueoffieldsuperposition.Andthisextendedtothemagneticfieldwhenthefieldcanbetransformedintothecomplexissuesofacommonroleinseveralcurrentmarket.
Keywords:
mirror-imagemethod;boundaryconditions;electrostaticfield;potentialoverlapping;Axisymmetricnon-staticfield
目录
摘要………………………………………………………………………………Ⅰ
Abstract…………………………………………………………………………Ⅱ
绪论…………………………………………………………………………………1
第一章利用镜像法的解题步骤…………………………………………………2
1.1镜像法及其理论基础……………………………………………………2
1.2镜像法的解题步骤………………………………………………………2
1.3镜像法的适用条件………………………………………………………2
第二章镜像法在静态场中的应用…………………………………………………3
2.1镜像法在静态电场中的应用…………………………………………3
2.2镜像法在静态磁场中的应用…………………………………………8
2.3本章小结……………………………………………………………………11
第三章镜像法在非静态场中的应用……………………………………………13
3.1非静态电磁场…………………………………………………………13
3.2利用镜像法解非静态电磁……………………………………………18
3.3本章小结………………………………………………………………19
结束语……………………………………………………………………………20
致谢……………………………………………………………………………21
参考文献……………………………………………………………………22
绪论
在1848年,W.汤姆孙提出用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场的一种方法,并将此称为电像法[1]。
后来发展到计算某些静磁场的问题,称为磁像法。
无论是电像法还是磁像法它们均为镜像法。
镜像法是电动力学中一种重要的计算方法.许多复杂问题使用该方法求解都会很简便,如在各种电动力学教材教科书中都介绍了利用镜像法求解均匀介质界面,介质柱面,介质球面在静态外场中电场分布情况[2-4]。
也从中我们得到了静像法的基本解题思路[5]:
如果在原电荷产生的电场中存在着导体或者介质分界面,导体或者介质面则由于静电感应或极化作用将出现感应或极化电荷。
若直接求解这区域的之内的场会较复杂,但若我们可以将导体或介质上的感应或极化电荷在求解区域的影响用求解区域外的假想的电荷代替,但并不改变原来问题的边界条件,则原来求解原电荷与感应或极化电荷在求解区域的问题变成了求解元电荷与感应电荷在求解区域的问题。
这种方法就称为镜像法,假想电荷称为象电荷。
目前,镜像法已不限于静电学范围,它已应用于计算稳恒磁场,稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。
这种方法物理意义明显,可使某些问题的求解大为简化在有点电荷和金属介质的情况下常能凑效。
但是关于镜像法在求解静磁场中的应用却少人提及,全面透彻地叙述更为少见。
的确,镜像法在静磁场中求解比用于求解静电场要难多。
但是只要抓住方法实质,抓住静电场和静磁场的可比性,则可使镜像法用于求解静磁的问题大为简化。
由此推及,讨论镜像法在非静态电磁场中的应用是很有意义。
迄今为止,在教学中还鲜有人将镜像法应用到解非静态问题场,而在下面笔者将根据镜像法在静态场的应用经验上,应用场的边值问题和叠加原理,讨论一下镜像法在非静态场中的应用。
第一章利用镜像法的解题步骤
若点电荷附近有一导体,在点电荷的电场作用下,导体面上出现感应电荷,我们希望求出导体外面空间的电场,这电场包括点电荷激发的电场和导体表面感应电荷所激发的电场,我们设想,导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部某个或几个假想电荷来代替?
注意我们在作这种代换时并不能改变空间中的电荷分布(在求解电场的区域,即导体外部空间中仍然只有一个点电荷),因而并不能影响泊松方程,问题是关键在于是否满足边界条件。
如果用这种代换确实能够满足边界条件,则我们所设想是假想电荷就可以用来代替导体表面的感应电荷分布,从而问题的解可以简单的表示出来。
由镜像法求解静态场问题中,我们可以看出场的唯一性定理是解镜像法的基础,在从中应用唯一性定理,解决场的边值问题[6-7],而在求解过程中我们也常用到理想模型和叠加原理。
1.1镜像法的适用条件
(1)场的唯一性定理是镜像法的基本前提;
(2)所求区域有少数几个或一个点电荷,它所产生的感应电荷一般可以用假想电荷代替,且不改变原空间电荷分布;
(3)导体或者介质的边界形状比较规则(球面,平面,圆柱面),具有一定的对称性;
(4)边界条件给定;
(5)主要应用叠加定理。
1.2镜像法的解题步骤
第一写出微分方程和给定边界条件;
第二根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置;
第三根据电势叠加得出电势的解析形式;
第四求解电场,电荷分布等。
第二章镜像法在静态场中的应用
2.1镜像法在静电场中的应用
镜像法是用假想电荷等效的代替导体(介质)边界面上的面电荷分布,然后用空间点电荷迭加得出空间的电势分布,我们称这样的方法加做电像法。
假想电荷称为象电荷,它要求象电荷的出现不改变原空间的电荷分布。
2.1.1界面为平面[1,6]
例1:
由两电介率分别为和的均匀介质分占上下两半空间,以无限平面为分界面,在介质中距交界面处有一点电荷,求这两种介质中的静电场。
Q
Q1
(b)
Q
(a)
ε1
ε1
ε1
ε2
图(3-1-1)
解:
当求解区域为介质时,在边界之外设有一镜像电荷,且整个空间区域充满介质,则为和共同产生的。
如图(b)所示;
当求解区域时候,假设区域充满介质,此时有和共同产生,在和的分界面上满足边界条件
。
所以,
。
2.1.2界面为柱面
例2:
半径为的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷,密度为,与圆柱的轴相距为,求镜像电荷的大小和位置。
Q
y
M
a
0
x
b
b
d
图(3-1-2)
分析:
用位于圆柱导体内,距圆柱轴线处的镜像电荷,代替导体柱面的感应电荷,边界条件维持不变,即导体圆柱面为零电位面,去掉导体圆柱,原线电荷和镜像线电荷求解导体圆柱外区域场,注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体圆柱内区域场。
解:
我们用的关系进行试探求解。
用同样在圆周上两点(通过镜像电荷的直径的两个端点),因圆柱接地,它们的点位必须为零即
,
。
代入的关系后,上面两方程解得
求解电位得圆柱体外任一点的电位为
,
其中,分别为,到场点的距离。
讨论:
若圆柱体不接地时,则导体圆柱面不在为零电位面,此时其边界条件为常数,即
=常数。
2.1.3界面为球面[1,7]
例3:
在半径为的接地导体球面外,距球心为处()有一点电荷,求解球外任意一点的电位。
图(3-1-3)
解:
假设可以用球内一假想电荷来代替球面的感应电荷对空间电场的作用,由于对称性,应在的连线上,关键是能否选择的大小和位置使得球面上的条件得到满足
考虑球面上任意一点,如图(3-1-3)所示,边界条件要求
(为到的距离,为到距离)
若选择的的位置使则
=常数
设的位置距球心的距离为,则三角形相似的条件为
由上两式子确定了假想电荷的位置和大小。
由和所激发的总电场能够满足在导体面上的边界条件,所以是空间电场的正确解答,球外任意一点的电势为
式中到到的距离,为到的距离,为由球心到点的距离,为与的夹角
讨论:
(1)若球不接地,则边界条件为常数
a:
导体不带电,即边界满足电中性条件
所以象电荷必须放在球心处,则
b:
导体带电为,则满足边界条件为常数
所以象电荷必须放在球心处,则
(2)自由电荷在球内,即a , 其中、,即 2.1.4界面为劈形 Q 图(3-1-4 (1)) 例4: 有两相交的接地导体平面,其夹角为。 若所夹的区域内有一点电荷,求下例情况的电势分布(其中)。 解: 由导体平面接地,即。 得到其象电荷如图(3-1-4 (1))所示 根据边界条件有 讨论: 当,时我们可以得到这样一个结论,即当为偶数时,其象电荷个数为个(如图(3-1-4 (2))所示)。 (a) Q (b) 图(3-1-4 (2)) Q π/3 2.2磁像法 磁像法就是将电像法解决电场问题的思想应用到解磁场相关问题的方法,我们将所求磁场外部适当位置上,设想有一条象电流,同样在不改变所求磁场区域内的电流分布,使象电流在所求区域中产生的磁场与边界面磁化电流所产生的磁场等效,也就是用象电流取代界面磁化电流后任保持边界条件不变,我们称此方法为磁像法。 下面通过例题说明磁像法的具体应用[8-10]。 2.2.1平面半空间介质与线电流体系 例1: 由磁导率为和的两种均匀磁介质分占平面的上下两半空间,以无限平面为交界面。 在介质中,距交界面处有一无限长直线电流,求解磁场分布 图(3-2-1) 解: 当Z>0时,设想全空间充满均匀介质,其中只有两条互相平行的长直导线电流与,与对称,但未知,为像电流,得 (3-1) 为的磁场方向的单位矢量,为的磁场方向的单位矢量
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- 镜像法 电磁场 中的 应用