高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形二十一34函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用理Word格式.docx
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高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形二十一34函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用理Word格式.docx
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0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )
A.B.C.D.3
【解析】选D.因为图象向左平移个单位后与原图象重合,所以是一个周期的整数倍.所以=T≤,ω≥3,所以ω最小是3.
4.(2017·
天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>
0,|φ|<
π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
【解析】选A.由题意其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)-,又T=>
2π,所以0<
ω<
1,所以ω=,φ=2k1π+π,由<
π得φ=.
【光速解题】选A.由“f=2,f=0,”可推测=,T=3π,符合“f(x)的最小正周期大于2π”,易得ω=,代入解析式,结合“f=2,f=0,易求φ=.
5.(2018·
太原模拟)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x),则g(x)具有性质( )
A.最大值为1,图象关于直线x=对称
B.在上单调递增,为奇函数
C.在上单调递增,为偶函数
D.周期为π,图象关于点对称
【解析】选B.将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2(x-)=sin2x的图象,故当x∈时,2x∈,故函数g(x)在上单调递增,为奇函数.
【变式备选】
(2018·
临汾模拟)把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:
①该函数的解析式为y=2sin;
②该函数图象关于点对称;
③该函数在上是增函数;
④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号是________.
【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin2=sin(2x+)的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以①不正确.
f=2sin=2sinπ=0,
所以函数图象关于点对称,所以②正确.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为
k∈Z,所以③不正确.
y=f(x)+a=2sin+a,
当0≤x≤时,≤2x+≤,
所以当2x+=,即x=时,函数取得最小值,ymin=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,
所以④正确,所以正确判断的序号为②④.
答案:
②④
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·
长沙模拟)将函数y=cosx+sinx的图象向右平移θ(θ>
0)个单位长度后关于y轴对称,则θ的最小值是________.
【解析】函数y=cosx+sinx=sin,图象向右平移θ(θ>
0)个单位长度后,可得sin关于y轴对称,所以-θ=+kπ,k∈Z.即θ=--kπ.
因为θ>
0,当k=-1时,可得θ的最小值为.
7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f等于__________.
【解析】由题图可知T=2×
=,所以ω==2.
即f(x)=Atan(2x+φ),又因为f=0,
故Atan=0,|φ|<
所以φ=,因为f(0)=1,所以Atan=1,即A=1,
即f(x)=tan,
所以f=tan=tan=.
8.已知关于x的方程2sin+1-a=0在区间上存在两个根,则实数a的取值范围是________.
【解题指南】将原方程化为sin=,数形结合分析满足的条件,求出a的取值范围.
【解析】2sin+1-a=0化为sin=,令t=x+,由x∈得,t=x+∈,
画出函数y=sint,t∈的图象和直线y=,当≤<
1时,即2≤a<
3时,
函数y=sint,t∈的图象和直线y=有两个公共点,原方程有两个根.
[2,3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数y=f(x)=sinωx+cosωx(ω>
0)的周期为π.
(1)求函数y=f(x)的振幅、初相.
(2)用五点法作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
(3)说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
【解析】
(1)因为函数y=f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ω>
0)的周期为T==π,所以ω=2,即y=f(x)=2sin,振幅为2,初相为.
(2)列表
2x+
π
2π
x
-
y
2
-2
描点连线,
(3)由y=sinx的图象向左平移个单位,再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的,再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到函数y=f(x)的图象.
10.如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>
0,ω>
0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,ω的值和M,P两点间的距离.
【解析】依题意,有A=2,=3,又T=,
所以ω=,
所以y=2sinx,x∈[0,4],
所以当x=4时,y=2sin=3,
所以M(4,3),又P(8,0),
所以MP===5(km),
即M,P两点间的距离为5km.
1.(5分)(2018·
锦州模拟)定义运算=ad-bc.将函数f(x)=的图象向左平移φ(φ>
0)个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值为
() )
A.B.πC.D.π
【解析】选D.f(x)==cosx-sinx=2cos,向左平移φ个单位得到y=2cos,由题意y=2cos是偶函数,所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(φ>
0).故当k=1时,φ的最小值为π.
2.(5分)2017年,某市将投资1510.77亿进行城乡建设.其中将对奥林匹克公园进行二期扩建,拟建该市最大的摩天轮建筑.其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为( )
A.75米B.85米
C.100米D.110米
【解析】选B.设该人与地面高度与时间t的关系f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>
0,φ∈[0,2π)),由题意可知:
A=50,B=110-50=60,T==21,所以ω=,
即f(t)=50sin+60,
又因为f(0)=110-100=10,即sinφ=-1,故φ=,所以f(t)=50sin+60,
所以f(7)=50sin+60=85.
郑州模拟)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A0,12秒旋转一周,则动点的纵坐标关于时间(单位:
秒)的函数解析式为( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
【解析】选C.因为动点初始位置为A0(,),所以t=0时,y=,可排除选项A,B;
又因为动点12秒旋转一周,所以函数周期为12,可排除选项D.
3.(5分)(2018·
杭州模拟)已知y=f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到y=cos2x的图象,则只需将y=f(x)的图象向________平移________个单位长度.
【解析】由题图可知,A=1,T=π,所以ω==2,
又f=sin=-1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),
故φ=+2kπ(k∈Z),又因为|φ|<
故φ=,
所以f(x)=sin=sin=cos.
故将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=cos=cos2x的图象.
左
4.(12分)(2017·
山东高考)设函数f(x)=sin(ωx-)+sin,其中0<
3,已知f=0,
(1)求ω.
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
(1)因为f(x)
=sin+sin,
所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx
=sinωx-cosωx
=
=sin.
由题设知f=0,
所以-=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<
3,
所以ω=2.
(2)由
(1)得f(x)=sin,所以
g(x)=sin=sin,
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
5.(13分)(2018·
济宁模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>
0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.
①求函数y=g(x)的解析式,并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象;
②对任意a∈R,求函数y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值.
【解题指南】
(1)利用正弦函数的单调性可得ω·
≤,由此求得ω的取值范围.
(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,再用五点法作函数y=g(x)在一个周期上的图象,进而判断零点个数.
(1)因为在上,函数f(x)=2sin(ωx)单调递增,所以ω·
≤,
求得ω≤,所以ω的取值范围为.
(2)①令ω=2,将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin2
的图象,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)=2sin+1的图象.
即函数y=g(x)的解析式为y=g(x)
=2sin+1.列表:
1
3
-1
作图:
②对任意a∈R,由于函数y=g(x)的周期为π,g(x)在区间[a,a+10π]上,共有10个周期,
故函数g(x)最多有21个零点,最少有20个零点.零点个数的所有可能值为20,21.
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