综合法与分析法.doc
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证明不等式的基本方法¾¾综合法与分析法
班级________姓名____________
1.已知a>0,a-b+c<0,其中a,b,c均为实数,则一定有()
A.b2-4ac>0B.b2-4ac≤0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≥0
2.正数a,b,c,d满足a+d=b+c,|a-d|<|b-c|,则有()
A.ad=bcB.ad<bcC.ad>bcD.ad与bc大小不确定
3.设a,b,c是正数,且ab+bc+ca=1,则下列不等式正确的是()
A.a2+b2+c2≥2B.(a+b+c)2≥3C.≥6D.a+b+c≤
4.已知a+b+c=0,求证:
ab+bc+ca≤0
5.设x>0,y>0,证明不等式:
>
6.已知a,b,c∈R+,用综合法证明:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
7.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
≤2
8.已知m,n∈R+,求证:
≥
9.已知a,b,c为正数,求证:
≥a+b+c
10.若a,b,c是正数,且a+b+c=3,求证:
≤3
参考解答
1.A2.C3.B
4.证法一:
(综合法)∵a+b+c=0∴(a+b+c)2=0
展开得:
∴ab+bc+ca≤0
证法二:
(分析法)要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0
故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2
即证:
即:
显然成立
∴原式成立
证法三:
∵a+b+c=0∴-c=a+b
∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab
=
5.证法一:
(综合法)∵
∵x>0,y>0,∴
证法二:
(分析法)所证不等式即:
即
即
只需证
∵成立
∴
6.∵a3+b3-a2b-b2a=(a-b)2(a+b)≥0
∴a3+b3≥a2b+b2a,同理b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥c2a+a2c
相加得2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)(注:
原题有误)
7.证法一:
(分析法)由已知a>0,b>0,a+b=1,要证≤2
只需证≤4即a+b+1+2≤4
即≤1只需证ab≤
∵ab≤=成立,因此原不等式成立
证法二:
(综合法)∵≤,≤,
相加得≤=2得证
8.∵m,n∈R+,∴要证≥只要证≥
而≥故只要证≥即≥(*)
只要证≥1
由(*)式的对称性,不妨设m≥n>0,则m-n≥0,≥0,从而≥1成立
因此,原不等式成立
9.∵a,b,c为正数,∴≥2a,≥2b,≥2c,
相加得+≥2(a+b+c)≥2c即≥a+b+c
10.∵a,b,c是正数,且a+b+c=3,
∴≤,≤,≤
相加得≤
即≤
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