人教A版高中数学必修5教学同步讲练第三章 《不等式》章末复习课Word格式.docx
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专题一 不等关系与不等式的基本性质
1.同向不等式可以相加,异向不等式可以相减;
但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.
(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)若a>b,c<d,则a-c>b-a.
2.左右同正不等式:
同向的不等式可以相乘,但不能相除;
异向不等式可以相除,但不能相乘.
(1)若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;
(2)若a>b>0,0<c<d,则>.
3.左右同正不等式,两边可以同时乘方或开方:
若a>b>0,则an>bn或>.
4.若ab>0,a>b,则<;
若ab<0,a>b,则>.
[例1] 已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.
解:
因为-(a+b)=-b+-a=
+=(a2-b2)=
(a2-b2)=,
因为a>0,b>0,且a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,
所以-(a+b)>0,即+>a+b.
归纳升华
不等式比较大小的常用方法
(1)作差比较法:
作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.
(2)作商比较法:
常用于分数指数幂的代数式.
(3)乘方转化的方法:
常用于根式比较大小.
(4)分子分母有理化.
(5)利用中间量.
[变式训练]
(1)已知0<x<2,求函数y=x(8-3x)的最大值;
(2)设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞),求函数f(x)的最小值.
(1)因为0<x<2,所以0<3x<6,8-3x>0,
所以y=x(8-3x)=×
3x·
(8-3x)≤
=,
当且仅当3x=8-3x,即x=时,取等号,
所以当x=时,y=x(8-3x)有最大值为.
(2)f(x)=x+=(x+1)+-1,因为x∈[0,+∞),所以x+1>0,>0,
所以x+1+≥2.
当且仅当x+1=,
即x=-1时,f(x)取最小值.
此时f(x)min=2-1.
专题二 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的求解流程如下:
一化——化二次项系数为正数.
二判——判断对应方程的根.
三求——求对应方程的根.
四画——画出对应函数的图象.
五解集——根据图象写出不等式的解集.
[例2]
(1)解不等式:
-1<x2+2x-1≤2;
(2)解不等式>1(a≠1).
(1)原不等式等价于
即
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,
所以-3≤x≤1.
将①②的解集在数轴上表示出来,如图所示.
求其交集得原不等式的解集为{x|-3≤
x<-2或0<x≤1}.
(2)原不等式可化为-1>0,
即(a-1)(x-2)>0(*),
①当a>1时,(*)式即为(x-2)>0,而-2=<0,所以<2,此时x>2或x<.
②当a<1时,(*)式即为(x-2)<0,
而2-=,
若0<a<1,则>2,此时2<x<;
若a=0,则(x-2)2<0,此时无解;
若a<0,则<2,此时<x<2.
综上所述,
当a>1时,不等式的解集为;
当0<a<1时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为∅;
当a<0时,不等式的解集为.
含参数的一元二次不等式的分类讨论
(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式,要注意对二次项系数是否为零进行讨论,特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解.
(2)对含参数的一元二次不等式,在其解的情况不明确的情况下,需要对其判别式分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况并加以讨论.
(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1,x2表示的形如a(x-x1)(x-x2)的形式时,往往需要对其根分x1>x2、x1=x2,x1<x2三种情况进行讨论,或用根与系数的关系帮助求解.
[变式训练] 定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数,且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
因为f(x)的定义域为(-1,1),
所以
所以0<a<,①
原不等式变形为f(1-a)<-f(1-a2).
由于f(x)为奇函数,有-f(1-a2)=f(a2-1),
所以f(1-a)<f(a2-1).
又f(x)在(-1,1)上是减函数,
所以1-a>a2-1,解得-2<a<1.②
由①②可得0<a<1,
所以a的取值范围是(0,1).
专题三 简单的线性规划问题
线性规划问题在实际中的类型主要有:
(1)给定一定数量的人力、物力资源,求如何运用这些资源,使完成任务量最大,收到的效益最高;
(2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.
[例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表:
原料
每种产品所需原料/t
现有原料数/t
A
B
甲
2
1
14
乙
3
18
利润/(万元/t)
5
____
(1)在现有原料条件下,生产A,B两种产品各多少时,才能使利润最大?
(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时,原最优解不变?
当超出这个范围时,最优解有何变化?
(1)生产A,B两种产品分别为xt,yt,则利润z=5x+3y,x,y满足作出可行域如图所示:
当直线5x+3y=z过点B时,z取最大值37,即生产A产品t,B产品t时,可得最大利润.
(2)设每吨B产品利润为m万元,则目标函数是z=5x+my,直线斜率k=-,
又kAB=-2,kCB=-,要使最优解仍为B点,
则-2≤-≤-,解得≤m≤15.
解答线性规划应用题的步骤
(1)列:
设出未知数,列出约束条件,确定目标函数.
(2)画:
画出线性约束条件所表示的可行域.
(3)移:
在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
(4)求:
通过解方程组求出最优解.
(5)答:
作出答案.
[变式训练] 已知x>
0,y>
0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )
A.3 B.4 C. D.
解析:
法一:
依题意得,x+1>
1,2y+1>
1,易知(x+1)·
(2y+1)=9,则(x+1)+(2y+1)≥2=2=6,当且仅当x+1=2y+1=3,即x=2,y=1时,等号成立,因此有x+2y≥4,所以x+2y的最小值为4.
法二:
由题意得,
x===-1+,
所以x+2y=-1++2y=-1++2y+1-1,≥2-2=4,
当且仅当2y+1=3,即y=1时,等号成立.
答案:
专题四 成立问题(恒成立、恰成立等)
[例4] 已知函数f(x)=mx2-mx-6+m,若对于m∈[1,3],f(x)<
0恒成立,求实数x的取值范围.
因为mx2-mx-6+m<
0,
所以m(x2-x+1)-6<
对于m∈[1,3],f(x)<
0恒成立⇔
即为
计算得出:
<
x<
.
所以实数x的取值范围:
不等式恒成立求参数范围问题常见解法
(1)变更主元法:
根据实际情况的需要确定合适的主元,一般将知道取值范围的变量看作主元.
(2)分离参数法:
若f(a)<
g(x)恒成立,则f(a)<
g(x)min;
若f(a)>
g(x)恒成立,则f(a)>
g(x)max.
(3)数形结合法:
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.
[变式训练] 已知函数y=的最小值为1,求实数a的取值集合.
由y≥1即≥1⇒x2-(a+4)x+4≥0恒成立,
所以Δ=(a+4)2-16≤0,解得-8≤a≤0(必要条件).
再由y=1有解,即=1有解,
即x2-(a+4)x+4=0有解,所以Δ=(a+4)2-16≥0,解得a≤-8或a≥0.
综上即知a=-8或a=0时,ymin=1,
故所求实数a的取值集合是{-8,0}.
专题五 利用分类讨论思想解不等式
[例5] 解关于x的不等式<
0(a∈R).
分析:
首先将不等式转化为整式不等式(x-a)(x-a2)<
0,而方程(x-a)(x-a2)=0的两根为x1=a,x2=a2,故应就两根a和a2的大小进行分类讨论.
原不等式等价于(x-a)(x-a2)<
0.
(1)若a=0,则a=a2=0,不等式为x2<
0,解集为∅;
(2)若a=1,则a2=1,不等式为(x-1)2<
(3)若0<
a<
1,则a2<
a,故解集为{x|a2<
a};
(4)若a<
0或a>
1,则a2>
a,故解集为{x|a<
a2}.
分类讨论思想
解含有字母的不等式时,往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论.分类讨论大致有以下三种:
(1)对不等式作等价变换时,正确运用不等式的性质而引起的讨论.
(2)对不等式(组)作等价变换时,由相应方程的根的大小比较而引起的讨论.
(3)对不等式作等价变换时,由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,α,β,γ∈R且α+β>
0,β+γ>
0,γ+α>
0.试判断f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.
因为f(x)为R上的减函数,
且α>
-β,β>
-γ,γ>
-α,
所以f(α)<
(-β),f(β)<
f(-γ),
f(γ)<
f(-α),
又f(x)为奇函数,
所以f(-β)=-f(β),f(-α)=-f(α),
f(-γ)=-f(γ),
所以f(α)+f(β)+f(γ)<
f(-β)+f(-γ)+f(-α)=
-[f(β)+f(γ)+f(α)],
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