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sys=tf(num,den);
%建立原系统的开环传递函数模型
margin(sys)
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)
hold
运行结果如下:
Gm=2.2311
Pm=27.4132
Wcg=1.2060
Wcp=0.7472
图2校正前系统的开环伯德图
由Bode图可知,增益裕量=2.2311>
1,相角裕量=27.4132>
0,原系统稳定。
幅值剪切频率Wcg=1.2060,相位剪切频率Wcp=0.7472。
由Bode图确定原系统谐振峰值、带宽
%建立原系统的开环传递函数模型
bode(sys);
[m,p,w]=bode(sys);
mr=max(m)
wr=spline(m,w,mr)
(2)运行结果如下:
mr=9.9372
wr=0.1000
3应用Matlab绘制出闭环系统Bode图,程序如下:
sys=feedback(sys,1);
%建立原系统的闭环传递函数模型
holdon
Gm=1.2314
Pm=7.3498
Wcg=1.2061
Wcp=1.1356
2)原系统闭环Bode图如图3:
图3校正前系统的闭环伯德图
4开环根轨迹
den=[1,11,26,16];
图5校正前系统的开环根轨迹
应用Matlab绘制出开环系统的奈氏图,程序如下:
sys=tf(num,den)
nyquist(sys)
乃氏图如下(图5)
校正前系统的乃氏图
由nyquist图知道N=0,系统稳定
由图5-1可得原系统频域性能指标:
幅值稳定裕度:
h=dB-π穿越频率:
=rad/s,
相角裕量=27.4132°
剪切频率:
=2.69rad/s
可知系统校正前,相角稳定裕度:
γ=27.4132°
<45°
,剪切频率:
=2.69rad/s<50rad/s,都未满足要求,原系统需要校正。
2)求超前校正装置的传递函数
由于相角稳定裕度:
γ=27.4132<45°
=2.69rad/s<50rad/s,故要进行超前校正,设超前校正传函为
Gc(s)=
取c=50rad/s,则求Gc(s)及其参数的MATLAB程序为:
2.1)法1
用程序取c=50rad/s时对应的幅值稳定裕度
%sh2.m
wc=50;
L=bode(s1,wc);
Lwc=20*log10(L);
a=10^(-0.1*Lwc);
T=1/(wc*sqrt(a));
Gc=tf([a*T1],[T1])
运行结果为:
Transferfunction:
5.56s+1
----------------
7.194e-005s+1
2.2)法2
直接从图5-1上读出wc=50rad/s对应的幅值稳定裕度为-7.8dB,则求校正传函的程序为:
%sh3.m
h=-7.8;
wc=4.5;
a=1/(10^(0.1*h));
0.5455s+1
-------------
0.09053s+1
可知二者结果近似相等,取法一结果相对准确。
3)检验校正后系统是否满足校正要求
3.1)绘制系统校正后Bode图及读性能指标。
校正系统wc=4.5rad/s对应的校正传函为Gc(s)=,则此时的MATLAB程序为:
%sh4.m
clear
k=9;
n1=1;
d1=conv([1,0],[1,2]);
s1=tf(k*n1,d1);
num2=[0.54721];
den2=[0.090251];
s2=tf(num2,den2);
sys=s1*s2
figure
(2);
margin(sys);
运行程序后,得校正后的Bode图如图5-2所示
图5-2校正后系统Bode图
由上图可得:
幅值稳定裕度:
相角稳定裕度:
γ=69.8°
=4.5rad/s
3.2)分析检验
比较原系统及设计要求,可知:
大于45°
,剪切频率=4.5rad/s都满足了设计要求。
三.校正装置的设计
设计串联滞后环节校正装置的传递函数:
,。
称为分度系数,T称为时间常数。
3.2串联校正设计过程
1)Matlab程序如下:
子程序:
functionGc=plsj(G,kc,yPm)
G=tf(G);
[mag,pha,w]=bode(G*kc);
Mag=20*log10(mag);
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G*kc);
phi=(yPm-getfield(Pm,'
Wcg'
))*pi/180;
alpha=(1+sin(phi))/(1-sin(phi));
Mn=-10*log10(alpha);
Wcgn=spline(Mag,w,Mn);
T=1/(Wcgn*sqrt(alpha));
Tz=alpha*T;
Gc=tf([Tz1],[T1]);
主程序:
G=tf(num,den);
kc=1;
yPm=45+10;
Gc=plsj(G,kc,yPm)
Gy_c=feedback(G,1)
Gx_c=feedback(G*kc*Gc,1)
figure
(1)
step(Gy_c,'
r'
40);
step(Gx_c,'
b'
40)
figure
(2)
bode(G,'
)
bode(G*Gc*kc,'
figure(3)
nyquist(G,'
nyquist(G*kc*Gc,'
3.2校正装置类型及参数的设定
由于系统性能指标是以时域形式给出,因此可采用根轨迹法进行校正设计。
在应用根轨迹法进行设计时,实质上是通过采用校正装置改变系统的根轨迹形状,从而将一对闭环主导极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点,可以使根轨迹向右移动,从而降低系统的稳定性,增加系统响应的调整时间。
而在开环传递函数中增加零点,可以导致根轨迹向左移动,从而增加系统的稳定性,减少系统响应的调整时间。
因此,掌握了在系统中增加极点和(或)零点对根轨迹的影响,就能容易地确定校正装置的零、极点位置,从而将根轨迹改变成所需要的形状。
设计步骤:
(1)根据所需要的动态品质指标要求,确定闭环主导极点A的位置;
根据要求得闭环主导极点
(2)由校正前系统的根轨迹曲线图看出期望主导极点在原系统根轨迹的左侧而不在原闭环根轨迹上。
按照前面所述原则,应该引入串联超前校正装置,使根轨迹向左移动,以满足指标要求。
(3)为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点,其闭环特征方程必须满足幅值和相角条件,即
式中,是校正前的系统在处的幅值;
则是对应的相角。
令,代入上式得到
将上述方程分解为实部和虚部两个方程,求解得到:
;
由此确定超前校正环节的传递函数。
functionGc=ggjx(G,s1,kc)
numG=G.num{1};
denG=G.den{1};
ngv=polyval(numG,s1);
dgv=polyval(denG,s1);
g0=ngv/dgv;
theta0=angle(g0);
theta1=angle(s1);
M0=abs(g0);
M1=abs(s1);
Tz=(sin(theta1)-kc*M0*sin(theta0-theta1))/(kc*M0*M1*sin(theta0));
Tp=-(kc*M0*sin(theta1)+sin(theta0+theta1))/(M1*sin(theta0));
Gc=tf([Tz1],[Tp1]);
*系统校正程序的MATLAB代码为:
主程序如下:
num=4;
den=conv([10],[10.5]);
zeta=0.5;
wn=5;
[num,den]=ord2(wn,zeta);
s=roots(den);
s1=s
(1);
kc=10;
Gc=ggjx(G,s1,kc)
所得的超前传递函数为:
-0.1042s-1
0.1333s-1
则校正后的开环传递函数为Gg=Kc*Gc*G
-4.167s-40
-------------------------------
0.1333s^3-0.9333s^2-0.5s
3.3校正后系统的分析
四.校正后的传递函数与原系统传递函数的比较
主程序代码为:
s1=
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