高中数学必修5所有章节强化提升练习及单元测试大集合Word文档格式.docx
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B.
4.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°
,则C=________.
解析 由正弦定理得=,
∴sinA=.
∵BC=2<
AC=,∴A为锐角.
∴A=45°
.∴C=75°
.
答案 75°
5.下列条件判断三角形解的情况,正确的是________.
①a=8,b=16,A=30°
,有两解;
②b=18,c=20,B=60°
,有一解;
③a=15,b=2,A=90°
,无解;
④a=30,b=25,A=150°
,有一解.
解析 ①中a=bsinA,有一解;
②中csinB<
b<
c,有两解;
③中A=90°
且a>
b,有一解.
答案 ④
6.在△ABC中,若==,试判断三角形的形状.
解 由正弦定理知==,
∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=.
又∵>
1,∴B>
A,∴△ABC为直角三角形.
综合提高 限时25分钟
7.在△ABC中,若==,则△ABC中最长的边是( ).
A.aB.bC.cD.b或c
解析 由正弦定理知sinB=cosB,sinC=cosC,∴B=C=45°
,∴A=90°
,故选A.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=c·
sinC,则角A,B的大小为( ).
A.,B.,
C.,D.,
解析 ∵m⊥n,∴cosA-sinA=0,
∴tanA=,∴A=,
由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,
∴sin(A+B)=sin2C,即sinC=1,∴C=,B=.
答案 C
9.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,a=1,则
=________.
解析 由已知A=30°
,B=60°
,C=90°
,=2.
∴====2.
答案 2
10.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°
,则A=________.
解析 ∵b=2a,∴sinB=2sinA,又∵B=A+60°
,
∴sin(A+60°
)=2sinA
即sinAcos60°
+cosAsin60°
=2sinA,
化简得:
sinA=cosA,∴tanA=,∴A=30°
答案 30°
11.已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且a、b为△ABC的两边,A、B为两内角,试判定这个三角形的形状.
解:
设方程的两根为x1、x2,
由根与系数的关系,得
∴bcosA=acosB.
由正弦定理得:
sinBcosA=sinAcosB
∴sinAcosB-cosAsinB=0,
sin(A-B)=0.
∵A、B为△ABC的内角,
∴0<A<π,0<B<π,-π<A-B<π.
∴A-B=0,即A=B.
故△ABC为等腰三角形.
12.(创新拓展)在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.
(1)试确定△ABC的形状;
(2)求的取值范围.
解
(1)在△ABC中,设其外接圆半径为R,根据正弦定理得
sinA=,sinB=,
代入=,得:
=,
∴b2-a2=ab.①
∵cos(A-B)+cosC=1-cos2C,
∴cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,
∴sinAsinB=sin2C.
由正弦定理,得·
=2,
∴ab=c2.②
把②代入①得,b2-a2=c2,
即a2+c2=b2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)由
(1)知B=,∴A+C=,
∴C=-A.
∴sinC=sin=cosA.
根据正弦定理,=
=sinA+cosA=sin.
∵0<
A<
,∴<
A+<
∴<
sin≤1,
∴1<
sin≤,
即的取值范围是(1,].
1.1.2 余弦定理
1.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°
,则c等于( ).
A.B.8C.10D.7
解析 c2=a2+b2-2abcosC=92+
(2)2-2×
9×
2cos150°
=147=(7)2,∴c=7.
答案 D
2.在△ABC中,若a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为( ).
A.B.C.D.
解析 ∵c<
a,∴最小角为角C.
∴cosC===.
∴C=,故选B.
答案 B
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>
0,则△ABC( ).
A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形
解析 ∵>
0,∴c2-a2-b2>
0.
∴a2+b2<
c2.∴△ABC为钝角三角形.故选C.
4.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°
,则a2+c2+ac-b2=________.
解析 ∵b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos120°
=a2+c2+ac.
∴原式为0.
答案 0
5.在△ABC中,若(a-c)(a+c)=b(b+c),则A=________.
解析 ∵(a-c)(a+c)=b(b+c),
∴a2-c2=b2+bc,即b2+c2-a2=-bc.
∴cosA==-.
∵0°
<
180°
,∴A=120°
答案 120°
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,a=4,b+c=6,且b<
c,求b,c的值.
解 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
∴16=(b+c)2-2bc-bc
∴bc=8,
又∵b+c=6,b<
c,解方程组
得b=2,c=4或b=4,c=2(舍).
∴b=2,c=4.
综合提高 (限时25分钟)
7.在△ABC中,B=60°
,b2=ac,则三角形一定是( ).
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.钝角三角形
解析 由余弦定理b2=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c)2=0,∴a=c.
∵B=60°
,∴A=C=60°
故△ABC为等边三角形.
8.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则·
A等于( ).
A.B.-C.D.15
解析 ∵cosA===-,
∴·
=||·
||·
cos∠BAC
=5×
3×
=-,故选B.
9.在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是________.
解析 ∵c2=a2+b2-2ab·
cosC=1+4-4cosC=5-4cosC.
又∵0<
C<
,∴cosC∈(0,1).
∴c2∈(1,5).∴c∈(1,).
答案 (1,)
10.已知等腰△ABC的底边BC=2,腰AB=4,则腰上的中线长为________.
解析 ∵cosA===.
设其中一腰中线长为x,则x满足:
x2=42+22-2×
4×
2cosA=20-16×
=6.∴x=.
答案
11.已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且a2+c2-b2=ac.
(1)求角B的大小;
(2)若c=3a,求tanA的值.
解
(1)由余弦定理,得cosB==.
B<
π,∴B=.
(2)法一 将c=3a代入a2+c2-b2=ac,得b=a.
由余弦定理,得cosA==.
π,∴sinA==.
∴tanA==.
法二 将c=3a代入a2+c2-b2=ac,得b=a.
由正弦定理,得sinB=sinA.
∵B=,∴sinA=.
又∵b=a>
a,则B>
A,
∴cosA==.
12.(创新拓展)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
解
(1)由已知,根据正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,
即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
故cosA=-.
又A∈(0,π),∴A=.
(2)由
(1)中a2=b2+c2+bc及正弦定理,可得
sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,
即2=sin2B+sin2C+sinBsinC,
又sinB+sinC=1,得sinB=sinC=,
又0<
B,C<
,∴B=C,
∴△ABC为等腰的钝角三角形.
习题课正弦定理与余弦定理
1.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( ).
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析 ∵2cosBsinA=sinC=sin(A+B),
即sin(A-B)=0,∴A=B.
2.在△ABC中,若a2=bc,则角A是( ).
A.锐角B.钝角C.直角D.60°
解析 cosA===>0,∴0°
<A<90°
3.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于( ).
A.B.C.D.
解析 设BC=a,则BM=MC=.
在△ABM中,
AB2=BM2+AM2-2BM·
AMcos∠AMB,
即72=a2+42-2×
×
4·
cos∠AMB①
在△ACM中,
AC2=AM2+CM2-2AM·
CM·
cos∠AMC
即62=42+a2+2×
·
cos∠AMB②
①+②得:
72+62=42+42+a2,
∴a=.
4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为________.
解析
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