高数自学指导书Word文档格式.docx
- 文档编号:13740032
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:20.62KB
高数自学指导书Word文档格式.docx
《高数自学指导书Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高数自学指导书Word文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)理解数列极限的概念:
数列,数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解数列极限的性质:
唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在定理,掌握极限的四则运算法则。
(3)理解函数极限的概念:
函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷(x→∞,x→+∞,x→-∞)时函数的极限。
(4)掌握函数极限的四则运算及存在定理。
(5)理解无穷小和无穷大的概念,掌握无穷小的性质、无穷小量的比较及无穷小与无穷大之间的关系。
(5)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(三)连续
(1)理解函数连续的概念:
函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要条件,函数的间断点及其分类。
(2)掌握函数在一点处连续的性质:
连续函数的四则运算,符合函数的连续性,反函数的连续性,会求函数的间断点及确定其类型。
(3)掌握闭区间上连续函数的性质:
有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零点定理),会利用介值定理,推证一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。
习题
1.用分段函数表示函数y=3-|x-1|.
⎧x2+x,x≥02.判别函数f(x)=⎨2的奇偶性.⎩-x+x,x
3.下列函数能否复合为函数y=f[g(x)],若能,写出其解析式、定义域、值域.
(1)y=f(u)=u,
(2)y=f(u)=lnu,u=g(x)=x-x2;
u=g(x)=sinx-1.
4.分析函数y=arctancose2x的复合结构.
5.判别下列极限是否存在,如果存在,求出其值.
(1)lim2x→01x;
(2)limex→∞x;
(3)limex→0-x2.
6.若f(x)>
0,且limf(x)=A.问:
能否保证有A>
0的结论?
试举例说明.
7.求极限lim
tanx-sinx.2x→0xsinx
8.求极限lim(3x→+∞x1xx+9).
2x2-2x.9.求limx→∞(x-1)2
eα-eβ
10.求极限limα→βα-β
11.求极限lim(x+2e)x→0x1x-1.
12.估计方程x-6x+2=0的根的位置.
第二章导数与微分
(一)导数
(1)理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
(4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。
会求分段函数的导数。
(5)理解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。
(二)微分
(1)理解函数的微分概念,
(2)掌握微分法则,了解可微与可导的关系,
(3)会求函数的一阶微分。
3
练习
1.函数f(x)在某点x0处的导数f'
(x0)与导函数f'
(x)有什么区别与联系?
2.求曲线y=2x-x3上与x轴平行的切线方程.
4.求函数y=
5.y=(1+x2)tanx,求y'
.
6.求函数y=cos2xlnx的二阶导数.
7.求函数y=x-x的微分dy.
8.因为一元函数y=f(x)在x0的可微性与可导性是等价的,所以有人说“微分就是导数,导数就是微分”,判断这种说法对吗?
2tanx+4lnx的导数.1+x2
第三章中值定理及导数的应用
(一)中值定理
(1)了解罗尔中值定理,
(2)了解拉格朗日中值定理及其几何意义。
(二)导数的应用
(1)熟练掌握洛必达法则求未定式的极限方法。
(2)掌握利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式。
(3)理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值的方法,并且会解简单的应用问题。
(4)会判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。
(5)会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.
2.设f(x)有一阶导数,f(0)=f'
(0)=1,求limx→0f(sinx)-1.lnf(x)
3.设函数f(x)在(a,b)内二阶可导,且f'
'
(x0)=0,其中x0∈(a,b),则(x0,f(x0))是否一定为曲线f(x)的拐点?
举例说明
4.若f(a)是f(x)在[a,b]上的最大值或最小值,且f'
(a)存在,是否一定有f'
(a)=0?
5.两坐标轴x=0,y=0是否都是函数f(x)=
6若函数f(x)有limf(x)=0,limx→+∞x→-∞sinx的渐近线?
xf(x)=1,x
f(x)=0,limf(x)=∞,并且当x∈(0,1)时,f'
(x)
f'
(x)>
0(x≠2),当x∈(1/2,2)时,f'
0,否则f'
(1)函数f(x)的单调区间(注明增减)是_______.
(2)函数曲线的凹向和拐点是_______.
(3)当x=_______时,函数取得极大值_______.
(4)函数的渐近线有_______.
第四章不定积分
(一)不定积分的概念与性质
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(二)求不定积分的方法
(1)熟练掌握不定积分第一类换元积分法,掌握第二类换元积分法(限于三角代换及简单的根式代换)。
(2)熟练掌握不定积分的分部积分法。
1.求下列不定积分
1+x
(1)⎰dx;
x
2.求下列不定积分4⋅ex+2⋅32x
(2)⎰dx.3x
(1)⎰
xdx;
(1+x)3
(2)⎰1dx;
1+cosx(3)⎰x1x-12dx.
3.设f'
(sin2x)=cos2x,求f(x).
4.求不定积分⎰xsin2xdx;
5.求不定积分⎰e-xsin2xdx.
第五章定积分
(一)定积分的概念与性质
(1)理解定积分的概念与几何定义,了解可积条件。
(2)掌握定积分的基本性质。
(二)定积分的计算
(1)理解变上限积分是变上限的函数,掌握变上限定积分求导数的方法。
(2)掌握牛顿——莱布尼兹公式。
(3)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(4)理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法。
(5)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积。
1.利用定积分的几何意义,说明下列等式:
⎰
a
a-xdx=
22
πa2
4
(a>
0).
2.证明不等式
2
x2-xdx≥2.
3.设f(x)在[a,b]上连续,则如果存在等于什么?
f(t)dt与
b
f(u)du是x的函数还是t与u的函数?
它们的导数存在吗?
11⎫⎛1+++⎪.4.用定积分定义和性质求极限lim
n→∞⎝n+1n+22n⎭
5.计算定积分
6.设f'
(x)在[0,1]上连续,且f(0)=1,f
(2)=3,f'
(2)=5,求7.判断广义积分
8.求正弦曲线y=sinx,x∈⎢0,
dx.01+x2
1
⎰xf'
(2x)dx.
lnx
dx的瑕点.0x-1
3⎡3π⎤
x=π及x轴所围成的平面图形的面积.和直线⎥22⎣⎦
9.计算曲线y=
10一矩形水闸门,宽20米,高16米,水面与闸门顶齐,求闸门上所受的总压力.
11.设某产品的总利润为L(q)=4q-
xn0
nxdx的弧长(0≤x≤nπ).
12
q-1(万元),其中q(百台)为产量,2
(1)求产量等于多少时总利润最大?
(2)从利润最大时,再生产200台,总利润增加多少?
三、考核方式及评分办法
考试重在考察学生对基础知识和基本技能的掌握。
考核方式:
平时考核+期末考试,总成绩为100分。
平时考核成绩以考勤、平时作业完成情况与完成质量为依据,占总成绩的30%。
期末考试采用闭卷方式,统一命题,统一评分标准,统一考试时间,考试时间为100分钟,占总成绩的70%。
参考教材:
《高等数学》自编教材
《高等数学(上)》作业
一、单项选择题:
⒈下列极限正确的是()(A)lim
sinx1
=1(B)limxsin=1
x→πxx→∞x
(C)lim(1+
x→∞
x)x
=e(D)lim(1-
1x
)=ex
⒉lim(1-
2x
)=()x
(A)1(B)e(C)e2(D)e-2⒊lim(1+
)=();
(A)1(B)e(C)e2(D)e-2
⎧x+1,⎪⎪
⒋设f(x)=⎨0,
⎪⎪⎩x-1,
x→0
x=0,下列结论中正确的是()x>
(A)limf(x)=0(B)limf(x)=lim(x+1)=1
(B)limf(x)=lim(x-1)=-1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 自学 指导书
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)