立体几何大题练习(附答案).doc
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立体几何大题练习(附答案).doc
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1.(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.
(I)证明:
PA∥平面EDB;
(II)证明:
PB⊥平面EFD;
(III)求三棱锥的体积.
2.(本小题满分14分)正方体,,E为棱的中点.
(Ⅰ)求证:
;(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
D
A
G
B
C
A
B
C
D
G
E
F
4、(本小题满分14分)
如图4,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,
是底面圆周上异于的任意一点,
(1)求证:
平面;
(2)求三棱锥的体积的最大值.
A
P
C
B
O
E
F
5.(本小题满分14分)
如图,已知⊙O所在的平面,是⊙O的直径,,
C是⊙O上一点,且,与⊙O所在的平面成角,
是中点.F为PB中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)求三棱锥B-PAC的体积.
6.(本小题满分14分)
如图,平行四边形中,,,且,正方形和平面成直二面角,是的中点.
A
B
C
D
E
F
G
H
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
7.(本小题满分14分)右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=l,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.
(I)设点O是AB的中点,证明:
OC∥平面A1B1C1;
(II)求此几何体的体积.
8.(本小题满分14分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
(1)求证:
EF∥平面CB1D1;
(2)求证:
平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
9.(本小题满分14分)高.考.资.源.网
如图1,在直角梯形中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形沿折起,使平面平面,连结部分线段后围成一个空间几何体,如图2.高.考.资.源.网
图1
图2
(Ⅰ)求证:
平面;高.考.资.源.网
(Ⅱ)求三棱锥的体积.高.考.资.源.网
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高.考.资.源.网10.(本小题满分14分)
在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若,,为的中点,求三棱锥的体积.
高.考.资.源.网1.解:
(1)证明:
连结AC,AC交BD于O,连结EO
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA//EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA//平面EDB.................4分
(2)证明:
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC
而平面PDC,∴②
由①和②推得平面PBC
而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD
.................8分
(3)∵,
由PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,
又∵BC⊥CD,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD,
∴BC⊥PC.
在△BDE中,,
∴ ,即DE⊥BE.
而由
(2),PB⊥平面EFD,有PB⊥DE,因而DE⊥平面BEF,
在Rt△BPD中,,;Rt△BEF中,.
∴.........14分
2.解:
(Ⅰ)证明:
连结,则//,
∵是正方形,∴.∵面,∴.
又,∴面.∵面,∴,
∴.
(Ⅱ)证明:
作的中点F,连结.
∵是的中点,∴,
∴四边形是平行四边形,∴.
∵是的中点,∴,
又,∴.
∴四边形是平行四边形,//,
∵,,
∴平面面.
又平面,∴面.
(3). .
图4
A
B
C
A1
4证明:
∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆
柱底面圆的直径,
∴BC⊥AC,……2分
∵AA1⊥平面ABC,BCÌ平面ABC,
∴AA1⊥BC,……4分
∵AA1∩AC=A,AA1Ì平面AA1C,
ACÌ平面AA1C,
∴BC⊥平面AA1C.……6分
(2)解法1:
设AC=x,在Rt△ABC中,
(0 故(0 即.……11分 ∵0 三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.……14分 5(Ⅰ)证明: 在三角形PBC中,是中点.F为PB中点 所以EF//BC, 所以……4分 (Ⅱ)…… (1) 又是⊙O的直径,所以…… (2)……7分 由 (1) (2)得………8分 因EF//BC,所以……9分 (Ⅲ)因⊙O所在的平面,AC是PC在面ABC内的射影,即为PC与面ABC所成角,,PA=AC………11分 在中,是中点,……12分 …14分 7. (1)证明: 作交于,连. 则.……2分 是的中点,. 则是平行四边形,.……4分 平面且平面, 面.……6分 (2)如图,过作截面面,分别交,于,. 作于.……2分 面,,则平面.……4分 又,,,……6分 . 所求几何体体积为: ……8分 8.(本小题满分14分) (1)证明: 连结BD.在长方体中,对角线.……………2分 又E、F为棱AD、AB的中点,∴.∴.……………4分 又B1D1平面,平面,∴EF∥平面CB1D1.……………7分 (2)在长方体中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1, ∴AA1⊥B1D1.………………………9分 又在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥平面CAA1C1. 又B1D1平面CB1D1,∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.……………14分 9.(本小题满分14分) 证明: (Ⅰ)证法一: 取中点为,连结,中,…………1分 ∵,∴且…………2分 又∵且, ∴且…………3分 四边形为平行四边形,∴…………4分 ∵平面,平面, ∴平面, ………………7分 证法二: 由图1可知,…………1分 折叠之后平行关系不变 ∵平面,平面, ∴平面, 同理平面 …………4分 ∵,平面, ∴平面平面 …………6分 ∵平面,∴平面…………7分 (Ⅱ)解法1: ∵…………8分 由图1可知 ∵平面平面,平面平面 平面, ∴平面, …………11分 由图1可知…………12分 ∴ 解法2: 由图1可知, ∵ ∴平面,…………9分 ∵ 点到平面的距离等于点到平面的距离为1,…………11分 由图1可知…………12分 ∴ 解法3: 过作,垂足为,…………8分 由图1可知 ∵平面平面, 平面平面 平面, ∴平面, ∵平面∴, 平面…………11分 由,, ,…………12分 在中,由等面积法可得…………13分 ∴…………14分 A B C D E F G H 6.(本小题满分14分) (Ⅰ)证明: 平面平面,交线为 ∴----------2分 ∴ 又 ∴--------4分 (Ⅱ)证明: 连结,则是的中点 ∴中,---------------6分 又 ∴ ∴平面-------------8分 (Ⅲ)解: 设中边上的高为 依题意: ∴ 即: 点到平面的距离为---------------10分 ∴-----------------14分 10
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