专题03 导数捷进提升篇高考数学备考提升系列Word版含答案Word文档格式.docx
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3.求函数在上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数在内的极值;
(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【讲一讲提高技能】
1.必备技能:
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质,函数的单调区间是函数的定义域的子区间,求函数的单调区间时千万不要忽视函数的定义域.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个,这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开.
利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰,但计算比较复杂,其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负.
根据函数的导数研究函数的单调性,在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论,这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行,其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行,如果这样的点不止一个,则要根据字母参数在不同范围内取值时,导数等于零的根的大小关系进行分类讨论,最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论.
2.典型例题:
例1.【2018江西重点中学盟校高三第一次联考】已知函数是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数,设=,,则、、的大小关系为( )
A.<
<
B.<
C.<
D.<
【答案】A
【名师点睛】数的大小比较主要考查了函数的单调性,尤其在给定函数的解析式的前提下.本题中函数的解析中含有对数式,一次式,分式,对其单调性的判断主要利用导数的方法来判断.利用导数来判断单调性时要注意函数的定义域.本题的另一个难点是利用函数的解析式将转化为.
例2.【2018湖北襄阳高三1月调研】已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为,满足,f(0)=1,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
【解析】令,则,故为上的减函数,有等价于,即,故不等式的解.
【名师点睛】在导数问题中,我们往往需要利用导数满足的关系式构建新函数,通常有下面的几种类型:
根据构造新函数;
根据构造新函数.
【练一练提升能力】
1.【2018广东中山模拟】在上是增函数,的范围是()
A.或B.C.D.
【答案】C
2.【2018河北衡水武邑中学高三上学期第五次调研】设函数是奇函数的导函数,,且当时,,则使得成立的的取值范围是()
【解析】设g(x)=则g(x)的导数为:
g′(x)=∵当x>0时,xf′(x)-f(x)>0,即当x>0时,g′(x)恒大于0,∴当x>0时,函数g(x)为增函数,∵f(x)为奇函数∴函数g(x)为定义域上的偶函数,又∵g(-1)=∵f(x)>0,∴当x>0时,,当x<0时,,∴当x>0时,g(x)>0=g
(1),当x<0时,g(x)<0=g(-1),∴x>1或-1<x<0,故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),故选A.
【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,根据构造新函数g(x)=是解决本题的关键.
捷进提升点2
利用导数探求参数的范围问题
1.由函数的单调性求参数的取值范围,这类问题一般已知在区间上单调递增(递减),等价于不等式(或)在区间上恒成立,通过分离参数求得新函数的最值,从而求出参数的取值范围.
2.常见结论:
(1)若,恒成立,则;
若,恒成立,则
(2)若,使得,则;
若,使得,则.
(3)设与的定义域的交集为D,若D恒成立,则有.
(4)若对、,恒成立,则.
(5)若对,,使得,则.
(6)若对,,使得,则.
(7)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,若对,,使得=成立,则.
(8)若三次函数有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于,极小值小于.
(9)证题中常用的不等式:
①;
②;
③;
④;
⑤;
⑥
不等式恒成立求参数取值范围问题经常采用下面两种方法求解:
一是最常使用的方法是分离参数求最值,即要使恒成立,只需x,要使恒成立,只需,从而转化为求的最值问题.二是,当参数不宜进行分离时,还可直接求最值建立关于参数的不等式求解,例如:
要使不等式恒成立,可求得的最小值,令即可求出的范围.
例1.【2018湖北部分重点中学高三上学期第二次联考】已知函数(为自然对数的底数)与的图象上存在两组关于轴对称的点,则实数的取值范围是()
【答案】B
【名师点睛】本题考查导数的应用.本题中题目转化为在上有两个解,分离参数得,则令,得到在单调递减,上单调递增,通过图象判断得.
例2.【2018湖南永州高三二模】函数,若,使得都有,则实数的取值范围是()
【解析】,使得都有,设,,只需,由二次函数的性质可得,,由,得,由,得,,,,得,得,,的取值范围是,故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及不等式恒成立问题,属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题,全称量词与存在量词的应用共分四种情况:
(1)只需;
(2),只需;
(3),只需;
(4),,.
1.【2018四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试】已知函数,设关于的方程有个不同的实数解,则的所有可能的值为
A.B.或C.或D.或或
【解析】在和上单增,上单减,又当时,时,故的图象大致为:
令,则方程必有两个根,且,不仿设,当时,恰有,此时,有个根,,有个根,当时必有,此时无根,有个根,当时必有,此时有个根,,有个根,综上,对任意,方程均有个根,故选A.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的三种常用的方法:
(1)直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.
2.【2018河北衡水金卷高三高考模拟】若函数,,对于给定的非零实数,总存在非零常数,使得定义域内的任意实数,都有恒成立,此时为的类周期,函数是上的级类周期函数.若函数是定义在区间内的2级类周期函数,且,当时,函数.若,,使成立,则实数的取值范围是()
【解析】是定义在区间内的级类周期函数,且,,当时,,故时,时,,而当时,,,当时,在区间上单调递减,当时,在区间上单调递增,故,依题意得,即实数的取值范围是,故选B.
捷进提升点3
利用定积分求解平面图形的面积
定积分求曲边梯形面积:
1.由三条直线,轴及一条曲线()围成的曲边梯的面积.
2.如果图形由曲线,(不妨设),及直线围成,那么所求图形的面积S=S曲边梯形AMNB-S曲边梯形DMNC=.
3.如果图形由曲线以及直线如下图围成,那么所求图形的面积为轴上方的积分值,加上轴下方的积分值的相反数.
1必备技能:
定积分的应用及技巧:
(1)对被积函数,要先化简,再求定积分.
(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,分段求定积分再求和.(3)对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分.(4)应用定积分求曲边梯形的面积,解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数.求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值,否则就会求出负值.
[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时,要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分,既不要弄错积分的上下限,也不要弄错被积函数.
用微积分基本定理求定积分时,要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式.
2典型例题:
例1.【2018内蒙古呼和浩特高三年级质量普查调研】曲线与直线所围成的封闭图像的面积是
【解析】曲线与直线所围成的封闭图形的面积为,故选C.
例2.【2018皖江名校高三12月份大联考】由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为()
A.3B.C.D.
【解析】如图所示,曲边四边形OABC的面积为.
故选A.
【名师点睛】本题考查了曲线围成的图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识,属于基础题;
用定积分求平面图形的面积的步骤:
(1)根据已知条件,作出平面图形的草图;
根据图形特点,恰当选取计算公式;
(2)解方程组求出每两条曲线的交点,以确定积分的上、下限;
(3)具体计算定积分,求出图形的面积.
1.【2018安徽淮南高三一模】求曲线与所围成的图形的面积,正确的是()
【解析】如图所示故选A.
2.【2018河北衡水金卷高三高考模拟】已知函数则()
【答案】D
【解析】,,的几何意义是以原点为圆心,半径为的圆的面积的,故,故选D.
测一测,彰显自我
(一)选择题(12*5=60分)
1.【2018陕西高三第一次模拟】设函数,则下列结论正确的是()
A.函数在上单调递增
B.函数在上单调递减
C.若,则函数的图像在点处的切线方程为
D.若,则函数的图像与直线只有一个公共点
【解析】对于选项A,B,由条件得,故在区间和上单调递增,在上单调递减,故A,B都不正确.对于选项C,可得,故所求的切线方程为,即,所以C正确.对于选项D,当时,由可得.令,则,故函数在区间和上单调递增,在上单调递减,所以当时,有极大值,且极大值为;
当时,有极小值,且极小值为,因此函数的图象与x轴有三个交点,从而函数的图像与直线有三个交点.故D不正确.综上选C.
2.【2018广东茂名高三上学期第一次综合测试】函数的部分图象大致为( )
A.B.C.D.
【解析】由题意得函数f(x)为奇函数,故排除B;
又,故排除A;
当时,,,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,故排除D,故选C.
3.函数在上最大,最小值分别为()
A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16
4.【2018广西贵港市高三12月联考】若函数在区间上单调递增,则的取值范围是()
【解析】,所以,在区间上单调递增,在区间上恒成立,即恒成立,当时,,,故选D.
5.设函数,则在区间上的最大值为()
A.-1B.0C.D.
【解析】,有.令,解得,(舍去).当变化时,和的变化情况如下:
1
-
+
极小值
所以当或时,有最大值0.故选.
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