毕业论文--矩阵的秩的性质及其应用.doc
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安阳师范学院本科毕业论文
矩阵的秩的性质及其应用
作 者 张乾龙
系(院) 数学与统计学院
专 业 数学与应用数学
年 级 2010级
学 号 100801069
指导教师 李波
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矩阵的秩的性质及其应用
张乾龙
(安阳师范学院数学与统计学院河南安阳455002)
摘要:
文章总结了矩阵的秩的相关性质,并且用定理和实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系、求解线性方程组、判断空间中点线面的位置关系、二次型、线性变换等方面的应用.
关键词:
矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换
1基础知识
矩阵理论是高等代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,无论在线性代数中,还是在解析几何中,都有不可忽略的作用.下面我们就给出了矩阵的秩的定义:
定义1向量组的极大无关组所含的向量的个数称为这个向量组的秩
定义2矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩,矩阵行向量组的秩称为矩阵的行秩。
定义3矩阵的列秩等于矩阵的行秩,统称为矩阵的秩。
定义矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩。
矩阵的秩记为秩或。
2矩阵的秩的性质
矩阵的秩的性质是对矩阵的秩的运用的进一步的总结。
下面我们就来总结矩阵的一些性质。
1)若是可逆矩阵,则有;
2)矩阵的初等行变换不改变行向量的秩;
3)矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性,从而不改变矩阵的列秩,即
设矩阵经过初等行变换变成矩阵,则矩阵的列向量组线性相关当且仅当矩阵的列向量组线性相关.
设矩阵经过初等行变换变成矩阵,并且矩阵的第列构成矩阵的列向量组的一个极大无关组,则矩阵的第列构成矩阵的列向量组的一个极大无关组;从而.
3)任意矩阵的行秩等于它的列秩;
4)矩阵的秩等于矩阵的转置的秩;
5)任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数;(任一非零矩阵的行秩等于它的列秩,并且等于矩阵的不为零的子式的最高阶数.)
6)一个级矩阵的秩等于当且仅当;
7)设矩阵的秩为r,则矩阵不等于零的r阶子式所在的列(行)构成的矩阵的列(行)向量组的一个极大无关组;
8)非零矩阵不等于零的子式的最高阶数称为矩阵的行列式秩,它的行列式秩与矩阵的秩相等;
9)矩阵和的秩不超过矩阵秩的和,即
10)矩阵与数的乘积的秩
当时,.
当时,.
11)矩阵乘积的秩不超过个因子的秩,即
12)矩阵与矩阵的乘积的秩不小于矩阵与矩阵的秩的和减去,即
3矩阵的秩的应用
3.1矩阵的秩与向量的关系
高等代数中,判断向量组的线性相关性时,我们的依据是项链组中的一个向量是否可以由其余向量线性表出来。
这种做法简单易懂,但对一些较为复杂的这类问题的时解法复杂,上述方法有一定的局限性,我们可以运用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题。
3.1.1线性相关性的判断
1)定义法
如果在数域P中,存在不全为零的数,,…,,使得
则称向量组,,…,线性相关;如果只有当时上式成立,则称向量组,,…,线性无关。
2)利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系
对于n维向量组,,…,,以各向量构成一个矩阵:
先求出的秩。
当 例1判断向量组=(1,0,-1,2),=(-1,-1,2,-4),=(2,3,-5,10)的线性相关性. 解以,,为行向量构成矩阵 通过初等变换(第1行加到第2行上,第1行乘以-2加到第3行上;再把第2行乘以3加到第3行上),可把矩阵化为如下阶梯形矩阵: 求得=2<3,故向量组线性相关. 3.1.2极大线性无关组 定义4在向量组,,…,中,如果一部分向量组线性无关,并且从向量组中任意添加一个向量(如果还有的话),所得的部分组都线性相关则称为向量组,,…,的一个极大线性无关组。 向量组的极大线性无关组所含的向量的个数r称为这个向量组的秩,记为(,,…,)。 规定只含零向量的向量组的秩为零。 例2设有向量组=(1,-1,2,4),=(0,3,1,2),=(3,0,7,14), =(1,-1,2,0),=(2,1,5,6),求极大线性无关组. 解 ,又中有一个3级子式,所以,,是一个极大无关组(或均可作为极大线性无关组). 3.2矩阵的秩与线性方程的求解 线性方程问题是高等代数中及其重要的一类问题,在讨论和解决线性方程的解的问题时,我们可以运用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题。 而线性方程要解决的问题可以归纳为以下三类问题: 1)方程组是否有解? 2)方程组是有解时,解的个数是多少? 3)如何求出解? 对于上述三个问题,无一不与矩阵的秩有关。 3.2.1齐次线性方程组的求解 1)定义法 如果齐次线性方程组 (1) 的系数矩阵的行列式,那么它只有零解。 换句话说,如果方程组 (1)有非零解,那么必有=0. 2)系数矩阵的秩为指数的个数之间的关系 如果齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩为,若 例3求下面齐次线性方程组的基础解系. 解上式的系数矩阵为 =2,基础解含3-2=1个向量。 同解方程组为 法1取得,基础解系为. 法2通解为(t为任意),即,故基础解系为. 3.2.2非齐次线性方程组的求解 1)系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系 如果非齐次线性方程组 (2) 有解的充分必要条件为它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩。 并且 (1)当时,非齐次线性方程组 (2)有惟一解。 (2)当时,非齐次线性方程组 (2)有无数多解。 例4解下面方程组 解对方程组的增广矩阵的行进行初等变换: 由上面最后一个矩阵可知,原方程组有惟一解为: . 例5解下面方程组 解对方程组的增广矩阵的行进行初等变换: 由上面最后一个矩阵可知,原方程组有无穷多解. 故其同解方程组为,通解为(k任意). 3.3矩阵的秩与空间中的点线面之间的关系 判断空间中点与点、平面与平面、平面与平面、直线与直线的位置关系,是代数知识在空间解析几何上的应用,体现了代数与几何的完美结合,以下我们用矩阵的秩对这几类关系做出详细的研究。 3.3.1相关定理 1)矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用 定理1设空间中有四个点, 矩阵的秩,则 (1)r=4时,四点异面. (2)r=3时,四点共面. (3)r=2时,四点共线. (4)r=1时,四点重合. 2)矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用 定理2已知平面与平面,设线性方程组 (1) 的系数矩阵为与增广矩阵为,则: (1)若,则平面与平面相较于一条直线; (2)若,则平面与平面重合; (3)若,则平面与平面平行。 定理3已知空间三个平面的方程分别为: 它们的系数矩阵为 与增广矩阵为 则: (1)三个平面重合的充分必要条件是; (2)三个平面平行的充分必要条件是,且的任意两行都不成比例; (3)三个平面两两相异且有惟一公共点的充分必要条件是,且的任意两行都不成比例; (4)三个平面中有两个平面相互平行,第三个平面与它们相交的充分必要条件是,且的任意两行都不成比例; (5)三个平面中有两个平面重合,第三个平面与它们平行的充分必要条件是 ,且的任意两行都不成比例; (6)三个平面中有惟一公共点的充分必要条件是. 3)矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系时的应用 定理4设空间平面与直线的一般方程为: , 它们的系数矩阵为 与增广矩阵为 则: (1)直线与平面相交的充分必要条件是; (2)直线与平面没有公共点的充分必要条件是; (3)直线属于已知平面的充分必要条件是; 4)矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系时的应用 定理5设空间两直线的一般方程分别为: , 它们的系数矩阵为 与增广矩阵为 则: (1)两直线异面的充分必要条件是; (2)两直线相交的充分必要条件是; (3)两直线平行的充分必要条件是; (4)两直线重合的充分必要条件是. 3.3.2定理的应用 例6判断直线L: 与平面的位置关系. 解由以上结论可知,对其系数矩阵和增广矩阵的行进行初等变换: , 故 , 由定理4可知: 直线与平面没有公共点. 例7证明直线与直线平行: 和. 解由以上结论可知,对其系数矩阵和增广矩阵的行进行初等变换: , 故 ,. 由定理5可知: 直线与直线平行. 3.4矩阵的秩与二次型 矩阵的秩与二次型理论有紧密的联系,我们可以用矩阵的秩的相关理论解决二次型的问题。 3.4.1复数域上二次型的规范形 (1)复二次型称为复数域上的规范形,其中或0(i=1,2,…,n)。 (2)任何复二次型都可以经过非退化线性替换化为规范形: 其中r为的矩阵的秩,且规范形是唯一的。 (3)任何复对称阵都合同于对角阵,其中r为的矩阵的秩。 (4)两个复对称阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。
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