秋人教版九年级数学上第24章圆解答题培优试题带答案.docx
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秋人教版九年级数学上第24章圆解答题培优试题带答案
第24章圆解答题培优试题
1.已知⊙O为△ABC的外接圆,直线l与⊙O相切于点P,且l∥BC.
(1)连接PO,并延长交⊙O于点D,连接AD.证明:
AD平分∠BAC;
(2)在
(1)的条件下,AD交BC于点E,连接CD.若DE=2,AE=6.试求CD的长.
2.如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E,连接OD.
(1)求证:
OD为△ABC的中
位线;
(2)若AC=6cm,求点O到DE的距离.
3.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:
CF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=8,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
4.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,求tanC.
5.在等腰三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,已知a=3,b和c是关于x的方程
的两个实数根.
(1)求△ABC的周长.
(2)求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径.
6.如图,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,AC=8,BC=6.
(1)求⊙O的面积;
(2)若D为⊙O上一点,且△ABD为等腰三角形,求CD的长.
7.一个边长为4
的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等,如图放置,⊙O与BC相切于点C,⊙O与AC相交于点E,
(1)求等边三角形的高;
(2)求CE的长度;
(3)若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<360°),求α为多少时,等边三角形的边所在的直线与圆相切.
8.如图,△ABC内接于⊙O,若⊙O的半径为6,∠B=60°,求AC的长.
9.如图,已知锐角△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交BC于点D.
(1)求证:
∠ACB+∠BAD=90°;
(2)过点D作DE⊥AB于E,若∠ADC=2∠ACB.求证:
AC=2DE.
10.如图,为一圆洞门.工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑,点A、B、C、D在⊙O上,CE⊥AB于
E,DF⊥AB于F,且AB=2
,EF=
,
=120°.
(1)求出圆洞门⊙O的半径;
(2)求立柱CE的长度.
11.如图,AB是⊙O的直径,AC平分∠DAB交⊙O于点C,过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P,弦CE交AB于点F,连接BE.
(1)求证:
PD是⊙O的切线;
(2)若PC=PF,试证明CE平分∠ACB.
12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交边
BC于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E,延长ED交AB的延长线于点F.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AE=6,求BF的长.
13.如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,AB与CD交于点E,点P是CD延长线上的一点,AP=AC,且∠B=2∠P.
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)若PD=
,求⊙O的直径;
(3)在
(2)的条件下,若点B等分半圆CD,求DE的长.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O是AB边上一点,以O为圆心作⊙O且经过A,D两点,交AB于点E.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)AC=2,AB=6,求BE的长.
15.如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过弧BD上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
(Ⅱ)若⊙O半径为2,TC=
,求AD的长.
16.已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),
(1)中结论还成立吗?
证明你的结论;
(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O
的切线,证明:
AB=4PD.
参考答案
1.
(1)证明:
∵l与⊙O相切于点P,
∴PD⊥l,
∵l∥BC,
∴PD垂直平分弦BC,
∴
,
∴∠BAD=∠DAC,
即AD平分∠BAC;
(2)∠BAD=∠BCD,且∠BAD=∠DAC,
∴∠DAC=∠BCD,
在△ADC和△CDE中
∠DAC=∠BCD,∠ADC=∠EDC,
∴△ADC∽△CDE,
∴
,
即
,
得DC=4.
2.解:
(1)连接CD,
∵BC是圆的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
又∵AC=BC,
∴AD=BD,
又∵OC=OB,
∴OD为△ABC的中位线.
(2)连接OD,
∵AD=BD,OB=OC,
∴DO是△ABC的中位线,
∴DO∥AC,OD=
AC=
×6=3,
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO,
∴点O到直线DE的距离为3.
3.
(1)证明:
连接OD,如图,
∵四边形EBOC是平行四边形,
∴OC∥BE,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵OB=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
在△ODC和△OAC中
,
∴△ODC≌△OAC,
∴∠ODC=∠OAC=90°,
∴OD⊥CD,
∴CF是⊙O的切线;
(2)解:
∵∠F=30°,
∴∠FOD=60°,
∴∠1=∠2=60°,
∵四边形EBOC是平行四边形,
∴OC=BE=8,
在Rt△AOC中,OA=
OC=4,AC=
OA=4
∴图中阴影部分的面积=S四边形AODC﹣S扇形AOD
=2×
×4×4
﹣
=16
﹣
π.
4.解:
(1)连接OD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,点D在
⊙O上,
∴DF是⊙
O的切线;
(2)连接BE,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,AC=3AE,
∴AB=3AE,CE=4AE,
∴BE=
=2
AE,
在Rt△BEC中,tanC=
=
=
.
5.解:
(1)若b、c中有一边等于3,
则方程可化为
,
解得
;
原方程可化为
,
解得x1=3,x2=
,
所以三角形的周长为3+3+
=
;
若b=c,则△=
,
解得m=﹣4或2,
当m=﹣4时,方程为x2﹣4x+4=0,得x1=x2=2,
所以三角形的周长为2+2+3=7;
当m=2时,方程为x2+2x+1=0,得x1=x2=﹣1;(不合题意,舍去)
综上可知△ABC的周长为7
或7.
(2)作△ABC的外接圆⊙O,连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E,连接BO,则有AE⊥BC.
∵△ABC的三边均为整数,
∴AB=AC=2,BC=3,
BE=
BC=
.AE=
=
=
,
设AO=R,在Rt△BOE中,R2=(
)2+(
﹣R)2,
∴R=
,
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为
.
6.解:
(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∴⊙O的面积=π×52=25π;
(2)作直径DD′⊥AB,BH⊥CD于H,如图,则
=
,
∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=45°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴DB=
AB=5
,
易得△BCH为等腰直角三角形,
∴CH=BH=
BC=3
,
在Rt△BDH中,DH=
=4
,
∴CD=CH+DH=3
+4
=7
,
∵DD′是⊙O的直径,
∴∠DCD′=90°,
∴CD′=
=
,
综上所述,CD的长为
或7
.
7.解:
(1)如图,作AM⊥MC于M.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠MAC=∠MAB=30°,
∴CM=
AC=2,
∴AM=
=
=2
.
(2)∵CF是⊙O直径,
∴CF=CM=2
,连接EF,则∠CEF=90°,
∵∠ECF=90°﹣∠ACB=30°,
∴EF=
CF=
,
∴CE=
=
=3.
(3)由图象可知,α=60°或120°或180°或300°时,等边三角形的边所在的直线与圆相切.
8.解:
如图,作直径AD,连接CD.
∴∠ACD=90°.
∵∠B=60°,
∴∠D=∠B=60°.
∵⊙O的半径为6,
∴AD=12.
在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
∴CD=6.
∴AC=6
.
9.
(1)证明:
延长AD交⊙O于点F,连接BF.
∵AF为⊙O的直径,
∴∠ABF=90°,
∴∠AFB+∠BAD=90°,
∵∠AFB=∠ACB,
∴∠ACB+∠BAD=90°.
(2)证明:
如图2中,过点O作OH⊥AC于H,连接BO.
∵∠AOB=2∠ACB,
∠ADC=2∠ACB,
∴∠AOB=∠ADC,
∴∠BOD=∠BDO,
∴BD=BO,
∴BD=OA,
∵∠BED=∠AHO,∠ABD=∠AOH,
∴△BDE≌△AOH,
∴DE=AH,
∵OH⊥AC,
∴AH=CH=
AC,
∴AC=2DE.
10.解:
(1)作OH⊥AB于H,连接OB、OA.
∵
的度数为120°,AO=BO,
∴∠BOH=
×120°=60°,
∴AH=BH=
,
在Rt△BOH中,sin∠BOH=
,
∴OB=2,即圆洞门⊙O的半径为2;
(2)作OM⊥EC于M,连接OC.
∵Rt△BOH中,OH=1,
∵EH=
,易证四边形OMEH是矩形,
∴OM=EH=
,ME=OH=1,
在Rt△OMC中,CM=
=
,
∴CE=ME+CM=1+
=
,
∴立柱CE的长度为
.
11.证明:
(1)连接OC,如图,
∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OC∥AD,
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴PD是⊙O的切线;
(2)∵OC⊥PC,
∴∠PCB+∠BCO=90°,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,即∠3+∠BCO=90°,
∴∠3=∠PCB,
而∠1=∠3,
∴∠1=∠PCB,
∵PC=PF,
∴∠PCF=∠PFC,
而∠PCF=∠PCB+∠BCF,∠PFC=∠1+∠ACF,
∴∠BCF=∠ACF,
即CE平分∠ACB.
12.
(1)证明:
连接OD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,又DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:
∵OD∥AC,
∴△FOD∽△FAE,
∴
=
,即
=
,
解得,BF=4.
13.
(1)证明:
连接OA、AD,如图,
∵∠B=2∠P,∠B=∠ADC,
∴∠ADC=2∠P,
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACP,
∴∠ADC=2∠ACP,
∵CD为直径,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC=60°,∠C=30°,
∴△ADO为等边三
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