学年九年级数学上册二次函数知识点总结+典型例题解析与习题训练Word格式文档下载.docx
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时,y随x的增大而减小
(4)抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,
3.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴以及最值,通常选择顶点式.
求抛物线的顶点、对称轴的方法:
,
∴顶点是,对称轴是直线.
(3)交点式:
已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
4.抛物线中,的作用
(1)决定开口方向及开口大小:
>
0,开口向上;
<
0,开口向下;
越大,开口越小
(2)和决定抛物线对称轴(左同右异)
①时,对称轴为轴;
②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)决定抛物线与轴交点的位置.
①,抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴;
③,与轴交于负半轴.
(4)决定抛物线与轴的交点个数
,有2个交点
有1个交点;
,无交点
二、例题解析
例1已知:
二次函数为y=x2-x+m
(1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)m为何值时,顶点在x轴上方
(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.
【分析】
(1)用配方法可以达到目的;
(2)顶点在x轴的上方,即顶点的纵坐标为正;
(3)AB∥x轴,A,B两点的纵坐标是相等的,从而可求出m的值.
【解答】
(1)∵由已知y=x2-x+m中,二次项系数a=1>
0,∴开口向上,
又∵y=x2-x+m=[x2-x+()2]-+m=(x-)2+
∴对称轴是直线x=,顶点坐标为(,).
(2)∵顶点在x轴上方,
∴顶点的纵坐标大于0,即>
∴m>
时,顶点在x轴上方.
(3)令x=0,则y=m.
即抛物线y=x2-x+m与y轴交点的坐标是A(0,m).
∵AB∥x轴
∴B点的纵坐标为m.
当x2-x+m=m时,解得x1=0,x2=1.
∴A(0,m),B(1,m)
在Rt△BAO中,AB=1,OA=│m│.
∵S△AOB=OA·
AB=4.
∴│m│·
1=4,∴m=±
8
故所求二次函数的解析式为y=x2-x+8或y=x2-x-8.
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a,b,c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.
例2已知:
m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<
n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:
3的两部分,请求出P点的坐标.
(1)解方程求出m,n的值.用待定系数法求出b,c的值.
(2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出△DMC,梯形BDBO,△BOC的面积,用割补法可求出△BCD的面积.
(3)PH与BC的交点设为E点,则点E有两种可能:
①EH=EP,②EH=EP.
【解答】
(1)解方程x2-6x+5=0,
得x1=5,x2=1.
由m<
n,有m=1,n=5.
所以点A,B的坐标分别为A(1,0),B(0,5).将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=-x2+bx+c,
得解这个方程组,得
所以抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.
(2)由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0.
解这个方程,得x1=-5,x2=1.
所以点C的坐标为(-5,0),由顶点坐标公式计算,得点D(-2,9).
过D作x轴的垂线交x轴于M,如图所示.
则S△DMC=×
9×
(5-2)=.
S梯形MDBO=×
2×
(9+5)=14,
S△BDC=×
5×
5=.
所以S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+-=15.
(3)设P点的坐标为(a,0)
因为线段BC过B,C两点,所以BC所在的直线方程为y=x+5.
那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5),PH与抛物线y=-x2+4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5).
由题意,得①EH=EP,即
(-a2-4a+5)-(a+5)=(a+5).
解这个方程,得a=-或a=-5(舍去).
②EH=EP,得
P点的坐标为(-,0)或(-,0).
例3已知关于x的二次函数y=x2-mx+与y=x2-mx-,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在
(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
(1)对于关于x的二次函数y=x2-mx+.
由于b2-4ac=(-m)-4×
1×
=-m2-2<
0,
所以此函数的图像与x轴没有交点.
对于关于x的二次函数y=x2-mx-.
由于b2-4ac=(-m)2-4×
=3m2+4>
所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点.
故图像经过A,B两点的二次函数为y=x2-mx-.
(2)将A(-1,0)代入y=x2-mx-.
得1+m-=0.
整理,得m2-2m=0.
解得m=0或m=2.
当m=0时,y=x2-1.令y=0,得x2-1=0.
解这个方程,得x1=-1,x2=1.
此时,点B的坐标是B(1,0).
当m=2时,y=x2-2x-3.令y=0,得x2-2x-3=0.
解这个方程,得x1=1,x2=3.
此时,点B的坐标是B(3,0).
(3)当m=0时,二次函数为y=x2-1,此函数的图像开口向上,对称轴为x=0,
所以当x<
0时,函数值y随x的增大而减小.
当m=2时,二次函数为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,此函数的图像开口向上,对称轴为x=1,所以当x<
1时,函数值y随x的增大而减小.
【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题,但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系,抓住问题的实质,灵活运用所学知识,这类综合题并不难解决.
课堂习题
一、填空题
1.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像,观察图像写出y2≥y1时,x的取值范围_______.
2.已知抛物线y=a2+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______.
3.已知二次函数y=-x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点(m,0),则m的值为______.
4.若二次函数y=x2-4x+c的图像与x轴只有1个交点,则c=_______
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2)与(-1,4),则a+c的值是______.
6.甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离s(m)与其距地面高度h(m)之间的关系式为h=-s2+s+.如下左图所示,已知球网AB距原点5m,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为m,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m的取值范围是______.
7.二次函数y=x2-2x-3与x轴两交点之间的距离为______.
8.杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/m2)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8),已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上(如上右图),则6楼房子的价格为_____元/m2.
二、选择题
9.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则下列关系式不正确的是()
A.a<
0B.abc>
0C.a+b+c<
0D.b2-4ac>
(第9题)(第12题)(第15题)
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,则下列结论中正确的是()
A.y1<
y2<
y3B.y2<
y1<
y3C.y3<
y2D.y1<
y3<
y2
11.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2,且经过点P(3,0),则a+b+c的值为()
A.-1B.0C.1D.2
12.如图所示,抛物线的函数表达式是()
A.y=x2-x+2B.y=-x2-x+2C.y=x2+x+2D.y=-x2+x+2
13.抛物线y=-2x2-4x-5经过平移得到y=-2x2,平移方法是()
A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
14.已知二次函数y=x2+bx+3,当x=-1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
15.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是()
A.(,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)
16.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图像可能是()
三、解答题
17.如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>
0)交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0)
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能
判断四边形ABCP是什么四边形?
并证明你的结论;
18.如图所示,m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<
n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设
(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线
的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于点H,若直线BC把
△PCH分成面积之比为2:
3的两部分,请求出点P的坐标.
19.某地计划开凿一条单向行驶(从正中通过)的隧道,其截面是抛物线拱
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